Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20690 / 12246
↖ ↑ ↗
← N 81.111056°
W123.173218°		 ← 47.19 m → N 81.111056°
W123.170471°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.110632°
W123.173218°		 ← 47.20 m →
2 225 m²		 N 81.110632°
W123.170471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157855987548828 y=0.0934333801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157855987548828 × 217)
    floor (0.157855987548828 × 131072)
    floor (20690.5)     		tx = 20690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0934333801269531 × 217)
    floor (0.0934333801269531 × 131072)
    floor (12246.5)     		ty = 12246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20690 / 12246 ti = "17/20690/12246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20690/12246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20690 ÷ 217
    20690 ÷ 131072     		x = 0.157852172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12246 ÷ 217
    12246 ÷ 131072     		y = 0.0934295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157852172851562 × 2 - 1) × π
    -0.684295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14977820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0934295654296875 × 2 - 1) × π
    0.813140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55455738075279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14977820} λ = -2.14977820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55455738075279))-π/2
    2×atan(12.8656038331909)-π/2
    2×1.4932256607147-π/2
    2.98645132142941-1.57079632675     		φ = 1.41565499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14977820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.173218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41565499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.111056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20690 KachelY 12246 -2.14977820 1.41565499 -123.173218 81.111056
    Oben rechts KachelX + 1 20691 KachelY 12246 -2.14973026 1.41565499 -123.170471 81.111056
    Unten links KachelX 20690 KachelY + 1 12247 -2.14977820 1.41564759 -123.173218 81.110632
    Unten rechts KachelX + 1 20691 KachelY + 1 12247 -2.14973026 1.41564759 -123.170471 81.110632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41565499-1.41564759) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dl = 47.1453999992337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41565499-1.41564759) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dr = 47.1453999992337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14977820--2.14973026) × cos(1.41565499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154519740131804 × 6371000     		do = 47.1943059743329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14977820--2.14973026) × cos(1.41564759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154527051251363 × 6371000     		du = 47.1965389784344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41565499)-sin(1.41564759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154519740131804-0.154527051251363)×R²
    abs(-2.14973026--2.14977820)×7.31111955881714e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31111955881714e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31111955881714e-06×40589641000000     		ar = 2225.04707073206m²