Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20687 / 10827
↖ ↑ ↗
← N 81.693481°
W123.181457°		 ← 44.12 m → N 81.693481°
W123.178711°		 →
↑
44.15 m
↓
↑
44.15 m
↓
N 81.693084°
W123.181457°		 ← 44.13 m →
1 948 m²		 N 81.693084°
W123.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157833099365234 y=0.0826072692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157833099365234 × 217)
    floor (0.157833099365234 × 131072)
    floor (20687.5)     		tx = 20687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0826072692871094 × 217)
    floor (0.0826072692871094 × 131072)
    floor (10827.5)     		ty = 10827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20687 / 10827 ti = "17/20687/10827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20687/10827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20687 ÷ 217
    20687 ÷ 131072     		x = 0.157829284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10827 ÷ 217
    10827 ÷ 131072     		y = 0.0826034545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157829284667969 × 2 - 1) × π
    -0.684341430664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.14992201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0826034545898438 × 2 - 1) × π
    0.834793090820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.62257984131365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14992201} λ = -2.14992201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62257984131365))-π/2
    2×atan(13.7712053212007)-π/2
    2×1.49830827242014-π/2
    2.99661654484028-1.57079632675     		φ = 1.42582022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14992201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.181457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42582022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.693481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20687 KachelY 10827 -2.14992201 1.42582022 -123.181457 81.693481
    Oben rechts KachelX + 1 20688 KachelY 10827 -2.14987407 1.42582022 -123.178711 81.693481
    Unten links KachelX 20687 KachelY + 1 10828 -2.14992201 1.42581329 -123.181457 81.693084
    Unten rechts KachelX + 1 20688 KachelY + 1 10828 -2.14987407 1.42581329 -123.178711 81.693084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42582022-1.42581329) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dl = 44.1510300004562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42582022-1.42581329) × R
    6.9300000000716e-06 × 6371000     		dr = 44.1510300004562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14992201--2.14987407) × cos(1.42582022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144468787201724 × 6371000     		do = 44.1244862379602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14992201--2.14987407) × cos(1.42581329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144475644498106 × 6371000     		du = 44.126580632782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42582022)-sin(1.42581329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144468787201724-0.144475644498106)×R²
    abs(-2.14987407--2.14992201)×6.85729638175148e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.85729638175148e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.85729638175148e-06×40589641000000     		ar = 1948.1877506669m²