Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20686 / 12218
↖ ↑ ↗
← N 81.122932°
W123.184204°		 ← 47.13 m → N 81.122932°
W123.181457°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.122508°
W123.184204°		 ← 47.13 m →
2 222 m²		 N 81.122508°
W123.181457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157825469970703 y=0.0932197570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157825469970703 × 217)
    floor (0.157825469970703 × 131072)
    floor (20686.5)     		tx = 20686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932197570800781 × 217)
    floor (0.0932197570800781 × 131072)
    floor (12218.5)     		ty = 12218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20686 / 12218 ti = "17/20686/12218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20686/12218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20686 ÷ 217
    20686 ÷ 131072     		x = 0.157821655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12218 ÷ 217
    12218 ÷ 131072     		y = 0.0932159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157821655273438 × 2 - 1) × π
    -0.684356689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14996995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0932159423828125 × 2 - 1) × π
    0.813568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55589961394215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14996995} λ = -2.14996995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55589961394215))-π/2
    2×atan(12.8828840681151)-π/2
    2×1.49332929274364-π/2
    2.98665858548728-1.57079632675     		φ = 1.41586226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14996995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.184204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41586226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.122932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20686 KachelY 12218 -2.14996995 1.41586226 -123.184204 81.122932
    Oben rechts KachelX + 1 20687 KachelY 12218 -2.14992201 1.41586226 -123.181457 81.122932
    Unten links KachelX 20686 KachelY + 1 12219 -2.14996995 1.41585486 -123.184204 81.122508
    Unten rechts KachelX + 1 20687 KachelY + 1 12219 -2.14992201 1.41585486 -123.181457 81.122508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41586226-1.41585486) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dl = 47.1453999992337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41586226-1.41585486) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dr = 47.1453999992337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14996995--2.14992201) × cos(1.41586226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154314956188728 × 6371000     		do = 47.1317596869789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14996995--2.14992201) × cos(1.41585486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154322267545137 × 6371000     		du = 47.1339927634207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41586226)-sin(1.41585486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154314956188728-0.154322267545137)×R²
    abs(-2.14992201--2.14996995)×7.31135640943958e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31135640943958e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31135640943958e-06×40589641000000     		ar = 2222.09830280402m²