Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20685 / 11467
↖ ↑ ↗
← N 81.435638°
W123.186950°		 ← 45.47 m → N 81.435638°
W123.184204°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.435229°
W123.186950°		 ← 45.48 m →
2 069 m²		 N 81.435229°
W123.184204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157817840576172 y=0.0874900817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157817840576172 × 217)
    floor (0.157817840576172 × 131072)
    floor (20685.5)     		tx = 20685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874900817871094 × 217)
    floor (0.0874900817871094 × 131072)
    floor (11467.5)     		ty = 11467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20685 / 11467 ti = "17/20685/11467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20685/11467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20685 ÷ 217
    20685 ÷ 131072     		x = 0.157814025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11467 ÷ 217
    11467 ÷ 131072     		y = 0.0874862670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157814025878906 × 2 - 1) × π
    -0.684371948242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.15001788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0874862670898438 × 2 - 1) × π
    0.825027465820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.59190022555682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15001788} λ = -2.15001788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59190022555682))-π/2
    2×atan(13.3551252570642)-π/2
    2×1.49605817521432-π/2
    2.99211635042864-1.57079632675     		φ = 1.42132002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15001788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.186950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42132002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.435638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20685 KachelY 11467 -2.15001788 1.42132002 -123.186950 81.435638
    Oben rechts KachelX + 1 20686 KachelY 11467 -2.14996995 1.42132002 -123.184204 81.435638
    Unten links KachelX 20685 KachelY + 1 11468 -2.15001788 1.42131288 -123.186950 81.435229
    Unten rechts KachelX + 1 20686 KachelY + 1 11468 -2.14996995 1.42131288 -123.184204 81.435229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42132002-1.42131288) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dl = 45.4889400008129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42132002-1.42131288) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dr = 45.4889400008129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15001788--2.14996995) × cos(1.42132002) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148920299310305 × 6371000     		do = 45.4746049056302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15001788--2.14996995) × cos(1.42131288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148927359689812 × 6371000     		du = 45.476760877449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42132002)-sin(1.42131288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148920299310305-0.148927359689812)×R²
    abs(-2.14996995--2.15001788)×7.06037950698457e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06037950698457e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06037950698457e-06×40589641000000     		ar = 2068.64061063004m²