Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20683 / 28763
↖ ↑ ↗
← N 70.529475°
W123.192444°		 ← 101.81 m → N 70.529475°
W123.189697°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
N 70.528560°
W123.192444°		 ← 101.81 m →
10 365 m²		 N 70.528560°
W123.189697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157802581787109 y=0.219448089599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157802581787109 × 217)
    floor (0.157802581787109 × 131072)
    floor (20683.5)     		tx = 20683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219448089599609 × 217)
    floor (0.219448089599609 × 131072)
    floor (28763.5)     		ty = 28763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20683 / 28763 ti = "17/20683/28763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20683/28763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20683 ÷ 217
    20683 ÷ 131072     		x = 0.157798767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28763 ÷ 217
    28763 ÷ 131072     		y = 0.219444274902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157798767089844 × 2 - 1) × π
    -0.684402465820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.15011376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219444274902344 × 2 - 1) × π
    0.561111450195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.76278360972832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15011376} λ = -2.15011376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76278360972832))-π/2
    2×atan(5.8286394913745)-π/2
    2×1.40088394457841-π/2
    2.80176788915681-1.57079632675     		φ = 1.23097156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15011376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.192444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23097156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.529475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20683 KachelY 28763 -2.15011376 1.23097156 -123.192444 70.529475
    Oben rechts KachelX + 1 20684 KachelY 28763 -2.15006582 1.23097156 -123.189697 70.529475
    Unten links KachelX 20683 KachelY + 1 28764 -2.15011376 1.23095558 -123.192444 70.528560
    Unten rechts KachelX + 1 20684 KachelY + 1 28764 -2.15006582 1.23095558 -123.189697 70.528560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23097156-1.23095558) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23097156-1.23095558) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15011376--2.15006582) × cos(1.23097156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333321885099853 × 6371000     		do = 101.805083414751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15011376--2.15006582) × cos(1.23095558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333336951210457 × 6371000     		du = 101.809684992731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23097156)-sin(1.23095558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333321885099853-0.333336951210457)×R²
    abs(-2.15006582--2.15011376)×1.50661106039229e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50661106039229e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50661106039229e-05×40589641000000     		ar = 10364.8652195328m²