Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 20681 / 12638
↖ ↑ ↗
← N 80.943138°
W123.197937°		 ← 48.07 m → N 80.943138°
W123.195191°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.942705°
W123.197937°		 ← 48.07 m →
2 312 m²		 N 80.942705°
W123.195191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157787322998047 y=0.0964241027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157787322998047 × 217)
    floor (0.157787322998047 × 131072)
    floor (20681.5)     		tx = 20681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0964241027832031 × 217)
    floor (0.0964241027832031 × 131072)
    floor (12638.5)     		ty = 12638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20681 / 12638 ti = "17/20681/12638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20681/12638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20681 ÷ 217
    20681 ÷ 131072     		x = 0.157783508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12638 ÷ 217
    12638 ÷ 131072     		y = 0.0964202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157783508300781 × 2 - 1) × π
    -0.684432983398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.15020963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0964202880859375 × 2 - 1) × π
    0.807159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53576611610173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15020963} λ = -2.15020963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53576611610173))-π/2
    2×atan(12.626100202307)-π/2
    2×1.49176029153986-π/2
    2.98352058307972-1.57079632675     		φ = 1.41272426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15020963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.197937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41272426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.943138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20681 KachelY 12638 -2.15020963 1.41272426 -123.197937 80.943138
    Oben rechts KachelX + 1 20682 KachelY 12638 -2.15016170 1.41272426 -123.195191 80.943138
    Unten links KachelX 20681 KachelY + 1 12639 -2.15020963 1.41271671 -123.197937 80.942705
    Unten rechts KachelX + 1 20682 KachelY + 1 12639 -2.15016170 1.41271671 -123.195191 80.942705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41272426-1.41271671) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41272426-1.41271671) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15020963--2.15016170) × cos(1.41272426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157414603445782 × 6371000     		do = 48.0684428598784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15020963--2.15016170) × cos(1.41271671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157422059312451 × 6371000     		du = 48.0707195984598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41272426)-sin(1.41271671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157414603445782-0.157422059312451)×R²
    abs(-2.15016170--2.15020963)×7.4558666685598e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4558666685598e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4558666685598e-06×40589641000000     		ar = 2312.19733040836m²