Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20680 / 11592
↖ ↑ ↗
← N 81.384359°
W123.200684°		 ← 45.75 m → N 81.384359°
W123.197937°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
N 81.383948°
W123.200684°		 ← 45.76 m →
2 093 m²		 N 81.383948°
W123.197937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157779693603516 y=0.0884437561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157779693603516 × 217)
    floor (0.157779693603516 × 131072)
    floor (20680.5)     		tx = 20680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884437561035156 × 217)
    floor (0.0884437561035156 × 131072)
    floor (11592.5)     		ty = 11592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20680 / 11592 ti = "17/20680/11592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20680/11592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20680 ÷ 217
    20680 ÷ 131072     		x = 0.15777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11592 ÷ 217
    11592 ÷ 131072     		y = 0.08843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.6844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15025757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08843994140625 × 2 - 1) × π
    0.8231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58590811310431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15025757} λ = -2.15025757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58590811310431))-π/2
    2×atan(13.2753391271671)-π/2
    2×1.49561067722493-π/2
    2.99122135444986-1.57079632675     		φ = 1.42042503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15025757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.200684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42042503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.384359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20680 KachelY 11592 -2.15025757 1.42042503 -123.200684 81.384359
    Oben rechts KachelX + 1 20681 KachelY 11592 -2.15020963 1.42042503 -123.197937 81.384359
    Unten links KachelX 20680 KachelY + 1 11593 -2.15025757 1.42041785 -123.200684 81.383948
    Unten rechts KachelX + 1 20681 KachelY + 1 11593 -2.15020963 1.42041785 -123.197937 81.383948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42042503-1.42041785) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dl = 45.7437800006788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42042503-1.42041785) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dr = 45.7437800006788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15025757--2.15020963) × cos(1.42042503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14980524969642 × 6371000     		do = 45.7543792443837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15025757--2.15020963) × cos(1.42041785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14981234867002 × 6371000     		du = 45.7565474536488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42042503)-sin(1.42041785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14980524969642-0.14981234867002)×R²
    abs(-2.15020963--2.15025757)×7.09897360010037e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.09897360010037e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.09897360010037e-06×40589641000000     		ar = 2093.02784939071m²