Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20679 / 12238
↖ ↑ ↗
← N 81.114451°
W123.203430°		 ← 47.18 m → N 81.114451°
W123.200684°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.114027°
W123.203430°		 ← 47.18 m →
2 224 m²		 N 81.114027°
W123.200684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157772064208984 y=0.0933723449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157772064208984 × 217)
    floor (0.157772064208984 × 131072)
    floor (20679.5)     		tx = 20679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933723449707031 × 217)
    floor (0.0933723449707031 × 131072)
    floor (12238.5)     		ty = 12238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20679 / 12238 ti = "17/20679/12238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20679/12238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20679 ÷ 217
    20679 ÷ 131072     		x = 0.157768249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12238 ÷ 217
    12238 ÷ 131072     		y = 0.0933685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157768249511719 × 2 - 1) × π
    -0.684463500976562 × 3.1415926535     		Λ = -2.15030551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933685302734375 × 2 - 1) × π
    0.813262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55494087594975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15030551} λ = -2.15030551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55494087594975))-π/2
    2×atan(12.8705386766508)-π/2
    2×1.49325528389059-π/2
    2.98651056778118-1.57079632675     		φ = 1.41571424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15030551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.203430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41571424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.114451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20679 KachelY 12238 -2.15030551 1.41571424 -123.203430 81.114451
    Oben rechts KachelX + 1 20680 KachelY 12238 -2.15025757 1.41571424 -123.200684 81.114451
    Unten links KachelX 20679 KachelY + 1 12239 -2.15030551 1.41570684 -123.203430 81.114027
    Unten rechts KachelX + 1 20680 KachelY + 1 12239 -2.15025757 1.41570684 -123.200684 81.114027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41571424-1.41570684) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41571424-1.41570684) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15030551--2.15025757) × cos(1.41571424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154461201470809 × 6371000     		do = 47.1764267604801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15030551--2.15025757) × cos(1.41570684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154468512658106 × 6371000     		du = 47.1786597852705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41571424)-sin(1.41570684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154461201470809-0.154468512658106)×R²
    abs(-2.15025757--2.15030551)×7.31118729696556e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31118729696556e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31118729696556e-06×40589641000000     		ar = 2224.20414857025m²