Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20678 / 12230
↖ ↑ ↗
← N 81.117844°
W123.206177°		 ← 47.15 m → N 81.117844°
W123.203430°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.117420°
W123.206177°		 ← 47.15 m →
2 223 m²		 N 81.117420°
W123.203430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157764434814453 y=0.0933113098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157764434814453 × 217)
    floor (0.157764434814453 × 131072)
    floor (20678.5)     		tx = 20678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933113098144531 × 217)
    floor (0.0933113098144531 × 131072)
    floor (12230.5)     		ty = 12230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20678 / 12230 ti = "17/20678/12230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20678/12230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20678 ÷ 217
    20678 ÷ 131072     		x = 0.157760620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12230 ÷ 217
    12230 ÷ 131072     		y = 0.0933074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157760620117188 × 2 - 1) × π
    -0.684478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15035344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933074951171875 × 2 - 1) × π
    0.813385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55532437114671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15035344} λ = -2.15035344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55532437114671))-π/2
    2×atan(12.8754754129624)-π/2
    2×1.49328489584459-π/2
    2.98656979168919-1.57079632675     		φ = 1.41577346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15035344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.206177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41577346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.117844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20678 KachelY 12230 -2.15035344 1.41577346 -123.206177 81.117844
    Oben rechts KachelX + 1 20679 KachelY 12230 -2.15030551 1.41577346 -123.203430 81.117844
    Unten links KachelX 20678 KachelY + 1 12231 -2.15035344 1.41576606 -123.206177 81.117420
    Unten rechts KachelX + 1 20679 KachelY + 1 12231 -2.15030551 1.41576606 -123.203430 81.117420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41577346-1.41576606) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41577346-1.41576606) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15035344--2.15030551) × cos(1.41577346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154402691907809 × 6371000     		do = 47.148719438462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15035344--2.15030551) × cos(1.41576606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154410003162784 × 6371000     		du = 47.1509520181231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41577346)-sin(1.41576606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154402691907809-0.154410003162784)×R²
    abs(-2.15030551--2.15035344)×7.31125497499541e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.31125497499541e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.31125497499541e-06×40589641000000     		ar = 2222.89786545063m²