Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20676 / 28740
↖ ↑ ↗
← N 70.550521°
W123.211670°		 ← 101.70 m → N 70.550521°
W123.208923°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
N 70.549606°
W123.211670°		 ← 101.70 m →
10 348 m²		 N 70.549606°
W123.208923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157749176025391 y=0.219272613525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157749176025391 × 217)
    floor (0.157749176025391 × 131072)
    floor (20676.5)     		tx = 20676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219272613525391 × 217)
    floor (0.219272613525391 × 131072)
    floor (28740.5)     		ty = 28740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20676 / 28740 ti = "17/20676/28740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20676/28740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20676 ÷ 217
    20676 ÷ 131072     		x = 0.157745361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28740 ÷ 217
    28740 ÷ 131072     		y = 0.219268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.68450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15044932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219268798828125 × 2 - 1) × π
    0.56146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76388615841959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15044932} λ = -2.15044932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76388615841959))-π/2
    2×atan(5.83506939420667)-π/2
    2×1.40106760090547-π/2
    2.80213520181094-1.57079632675     		φ = 1.23133888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15044932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.211670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23133888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.550521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20676 KachelY 28740 -2.15044932 1.23133888 -123.211670 70.550521
    Oben rechts KachelX + 1 20677 KachelY 28740 -2.15040138 1.23133888 -123.208923 70.550521
    Unten links KachelX 20676 KachelY + 1 28741 -2.15044932 1.23132291 -123.211670 70.549606
    Unten rechts KachelX + 1 20677 KachelY + 1 28741 -2.15040138 1.23132291 -123.208923 70.549606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23133888-1.23132291) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23133888-1.23132291) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15044932--2.15040138) × cos(1.23133888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332975548517207 × 6371000     		do = 101.699303307707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15044932--2.15040138) × cos(1.23132291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332990607154062 × 6371000     		du = 101.703902603012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23133888)-sin(1.23132291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332975548517207-0.332990607154062)×R²
    abs(-2.15040138--2.15044932)×1.50586368543593e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50586368543593e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50586368543593e-05×40589641000000     		ar = 10347.6163716048m²