Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20673 / 12225
↖ ↑ ↗
← N 81.119965°
W123.219910°		 ← 47.15 m → N 81.119965°
W123.217163°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.119541°
W123.219910°		 ← 47.15 m →
2 223 m²		 N 81.119541°
W123.217163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157726287841797 y=0.0932731628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157726287841797 × 217)
    floor (0.157726287841797 × 131072)
    floor (20673.5)     		tx = 20673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932731628417969 × 217)
    floor (0.0932731628417969 × 131072)
    floor (12225.5)     		ty = 12225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20673 / 12225 ti = "17/20673/12225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20673/12225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20673 ÷ 217
    20673 ÷ 131072     		x = 0.157722473144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12225 ÷ 217
    12225 ÷ 131072     		y = 0.0932693481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157722473144531 × 2 - 1) × π
    -0.684555053710938 × 3.1415926535     		Λ = -2.15059313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0932693481445312 × 2 - 1) × π
    0.813461303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.55556405564481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15059313} λ = -2.15059313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55556405564481))-π/2
    2×atan(12.8785618346935)-π/2
    2×1.49330339761908-π/2
    2.98660679523816-1.57079632675     		φ = 1.41581047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15059313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.219910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41581047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.119965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20673 KachelY 12225 -2.15059313 1.41581047 -123.219910 81.119965
    Oben rechts KachelX + 1 20674 KachelY 12225 -2.15054519 1.41581047 -123.217163 81.119965
    Unten links KachelX 20673 KachelY + 1 12226 -2.15059313 1.41580307 -123.219910 81.119541
    Unten rechts KachelX + 1 20674 KachelY + 1 12226 -2.15054519 1.41580307 -123.217163 81.119541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41581047-1.41580307) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41581047-1.41580307) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15059313--2.15054519) × cos(1.41581047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154366125625979 × 6371000     		do = 47.1473881502168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15059313--2.15054519) × cos(1.41580307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154373436923237 × 6371000     		du = 47.1496212085921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41581047)-sin(1.41580307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154366125625979-0.154373436923237)×R²
    abs(-2.15054519--2.15059313)×7.31129725786706e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31129725786706e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31129725786706e-06×40589641000000     		ar = 2222.83511262068m²