Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20672 / 11069
↖ ↑ ↗
← N 81.596903°
W123.222656°		 ← 44.62 m → N 81.596903°
W123.219910°		 →
↑
44.66 m
↓
↑
44.66 m
↓
N 81.596502°
W123.222656°		 ← 44.63 m →
1 993 m²		 N 81.596502°
W123.219910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157718658447266 y=0.0844535827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157718658447266 × 217)
    floor (0.157718658447266 × 131072)
    floor (20672.5)     		tx = 20672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0844535827636719 × 217)
    floor (0.0844535827636719 × 131072)
    floor (11069.5)     		ty = 11069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20672 / 11069 ti = "17/20672/11069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20672/11069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20672 ÷ 217
    20672 ÷ 131072     		x = 0.15771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11069 ÷ 217
    11069 ÷ 131072     		y = 0.0844497680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15771484375 × 2 - 1) × π
    -0.6845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15064106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0844497680664062 × 2 - 1) × π
    0.831100463867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.6109791116056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15064106} λ = -2.15064106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6109791116056))-π/2
    2×atan(13.6123723609029)-π/2
    2×1.49746547312384-π/2
    2.99493094624768-1.57079632675     		φ = 1.42413462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15064106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42413462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.596903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20672 KachelY 11069 -2.15064106 1.42413462 -123.222656 81.596903
    Oben rechts KachelX + 1 20673 KachelY 11069 -2.15059313 1.42413462 -123.219910 81.596903
    Unten links KachelX 20672 KachelY + 1 11070 -2.15064106 1.42412761 -123.222656 81.596502
    Unten rechts KachelX + 1 20673 KachelY + 1 11070 -2.15059313 1.42412761 -123.219910 81.596502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42413462-1.42412761) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dl = 44.6607100001879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42413462-1.42412761) × R
    7.01000000002949e-06 × 6371000     		dr = 44.6607100001879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15064106--2.15059313) × cos(1.42413462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146136498149972 × 6371000     		do = 44.624537732194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15064106--2.15059313) × cos(1.42412761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146143432890076 × 6371000     		du = 44.6266553385097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42413462)-sin(1.42412761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146136498149972-0.146143432890076)×R²
    abs(-2.15059313--2.15064106)×6.93474010424189e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.93474010424189e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.93474010424189e-06×40589641000000     		ar = 1993.01082554516m²