Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20669 / 12237
↖ ↑ ↗
← N 81.114876°
W123.230896°		 ← 47.17 m → N 81.114876°
W123.228150°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
N 81.114451°
W123.230896°		 ← 47.18 m →
2 227 m²		 N 81.114451°
W123.228150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157695770263672 y=0.0933647155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157695770263672 × 217)
    floor (0.157695770263672 × 131072)
    floor (20669.5)     		tx = 20669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933647155761719 × 217)
    floor (0.0933647155761719 × 131072)
    floor (12237.5)     		ty = 12237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20669 / 12237 ti = "17/20669/12237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20669/12237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20669 ÷ 217
    20669 ÷ 131072     		x = 0.157691955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12237 ÷ 217
    12237 ÷ 131072     		y = 0.0933609008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157691955566406 × 2 - 1) × π
    -0.684616088867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.15078488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933609008789062 × 2 - 1) × π
    0.813278198242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.55498881284937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15078488} λ = -2.15078488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55498881284937))-π/2
    2×atan(12.8711556651595)-π/2
    2×1.49325898599845-π/2
    2.98651797199691-1.57079632675     		φ = 1.41572165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15078488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.230896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41572165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.114876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20669 KachelY 12237 -2.15078488 1.41572165 -123.230896 81.114876
    Oben rechts KachelX + 1 20670 KachelY 12237 -2.15073694 1.41572165 -123.228150 81.114876
    Unten links KachelX 20669 KachelY + 1 12238 -2.15078488 1.41571424 -123.230896 81.114451
    Unten rechts KachelX + 1 20670 KachelY + 1 12238 -2.15073694 1.41571424 -123.228150 81.114451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41572165-1.41571424) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41572165-1.41571424) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15078488--2.15073694) × cos(1.41572165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154453880395054 × 6371000     		do = 47.1741907154999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15078488--2.15073694) × cos(1.41571424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154461201470809 × 6371000     		du = 47.1764267604801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41572165)-sin(1.41571424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154453880395054-0.154461201470809)×R²
    abs(-2.15073694--2.15078488)×7.32107575521224e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32107575521224e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32107575521224e-06×40589641000000     		ar = 2227.10433958874m²