Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20668 / 12236
↖ ↑ ↗
← N 81.115300°
W123.233642°		 ← 47.16 m → N 81.115300°
W123.230896°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.114876°
W123.233642°		 ← 47.16 m →
2 224 m²		 N 81.114876°
W123.230896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157688140869141 y=0.0933570861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157688140869141 × 217)
    floor (0.157688140869141 × 131072)
    floor (20668.5)     		tx = 20668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933570861816406 × 217)
    floor (0.0933570861816406 × 131072)
    floor (12236.5)     		ty = 12236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20668 / 12236 ti = "17/20668/12236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20668/12236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20668 ÷ 217
    20668 ÷ 131072     		x = 0.157684326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12236 ÷ 217
    12236 ÷ 131072     		y = 0.093353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.68463134765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15083281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093353271484375 × 2 - 1) × π
    0.81329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55503674974899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15083281} λ = -2.15083281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55503674974899))-π/2
    2×atan(12.8717726832455)-π/2
    2×1.49326268793098-π/2
    2.98652537586196-1.57079632675     		φ = 1.41572905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15083281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.233642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41572905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.115300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20668 KachelY 12236 -2.15083281 1.41572905 -123.233642 81.115300
    Oben rechts KachelX + 1 20669 KachelY 12236 -2.15078488 1.41572905 -123.230896 81.115300
    Unten links KachelX 20668 KachelY + 1 12237 -2.15083281 1.41572165 -123.233642 81.114876
    Unten rechts KachelX + 1 20669 KachelY + 1 12237 -2.15078488 1.41572165 -123.230896 81.114876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41572905-1.41572165) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dl = 47.1453999992337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41572905-1.41572165) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dr = 47.1453999992337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15083281--2.15078488) × cos(1.41572905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15444656919083 × 6371000     		do = 47.1621178946761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15083281--2.15078488) × cos(1.41572165) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154453880395054 × 6371000     		du = 47.1643504588398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41572905)-sin(1.41572165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15444656919083-0.154453880395054)×R²
    abs(-2.15078488--2.15083281)×7.31120422439724e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.31120422439724e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.31120422439724e-06×40589641000000     		ar = 2223.52954046906m²