Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20664 / 4839
↖ ↑ ↗
← N 77.525495°
E 47.021484°		 ← 263.88 m → N 77.525495°
E 47.032471°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
N 77.523122°
E 47.021484°		 ← 263.93 m →
69 641 m²		 N 77.523122°
E 47.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630630493164062 y=0.147689819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630630493164062 × 215)
    floor (0.630630493164062 × 32768)
    floor (20664.5)     		tx = 20664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147689819335938 × 215)
    floor (0.147689819335938 × 32768)
    floor (4839.5)     		ty = 4839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20664 / 4839 ti = "15/20664/4839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20664/4839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20664 ÷ 215
    20664 ÷ 32768     		x = 0.630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4839 ÷ 215
    4839 ÷ 32768     		y = 0.147674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    0.26123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82067972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147674560546875 × 2 - 1) × π
    0.70465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21372602445419
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82067972} λ = 0.82067972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21372602445419))-π/2
    2×atan(9.14974513182556)-π/2
    2×1.46193573539712-π/2
    2.92387147079424-1.57079632675     		φ = 1.35307514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82067972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35307514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.525495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20664 KachelY 4839 0.82067972 1.35307514 47.021484 77.525495
    Oben rechts KachelX + 1 20665 KachelY 4839 0.82087147 1.35307514 47.032471 77.525495
    Unten links KachelX 20664 KachelY + 1 4840 0.82067972 1.35303372 47.021484 77.523122
    Unten rechts KachelX + 1 20665 KachelY + 1 4840 0.82087147 1.35303372 47.032471 77.523122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35307514-1.35303372) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35307514-1.35303372) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82067972-0.82087147) × cos(1.35307514) × R
    0.000191750000000046 × 0.21600517037944 × 6371000     		do = 263.880394338524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82067972-0.82087147) × cos(1.35303372) × R
    0.000191750000000046 × 0.21604561235987 × 6371000     		du = 263.929799849166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35307514)-sin(1.35303372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21600517037944-0.21604561235987)×R²
    abs(0.82087147-0.82067972)×4.04419804306555e-05×R²
    0.000191750000000046×4.04419804306555e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.04419804306555e-05×40589641000000     		ar = 69641.0768636604m²