Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20664 / 4009
↖ ↑ ↗
← N 79.349442°
E 47.021484°		 ← 225.78 m → N 79.349442°
E 47.032471°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
N 79.347411°
E 47.021484°		 ← 225.82 m →
50 984 m²		 N 79.347411°
E 47.032471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630630493164062 y=0.122360229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630630493164062 × 215)
    floor (0.630630493164062 × 32768)
    floor (20664.5)     		tx = 20664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122360229492188 × 215)
    floor (0.122360229492188 × 32768)
    floor (4009.5)     		ty = 4009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20664 / 4009 ti = "15/20664/4009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20664/4009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20664 ÷ 215
    20664 ÷ 32768     		x = 0.630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4009 ÷ 215
    4009 ÷ 32768     		y = 0.122344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    0.26123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82067972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122344970703125 × 2 - 1) × π
    0.75531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37287653119278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82067972} λ = 0.82067972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37287653119278))-π/2
    2×atan(10.7282079665851)-π/2
    2×1.47785267433063-π/2
    2.95570534866126-1.57079632675     		φ = 1.38490902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82067972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38490902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.349442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20664 KachelY 4009 0.82067972 1.38490902 47.021484 79.349442
    Oben rechts KachelX + 1 20665 KachelY 4009 0.82087147 1.38490902 47.032471 79.349442
    Unten links KachelX 20664 KachelY + 1 4010 0.82067972 1.38487358 47.021484 79.347411
    Unten rechts KachelX + 1 20665 KachelY + 1 4010 0.82087147 1.38487358 47.032471 79.347411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38490902-1.38487358) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dl = 225.788239999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38490902-1.38487358) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dr = 225.788239999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82067972-0.82087147) × cos(1.38490902) × R
    0.000191750000000046 × 0.184818627015955 × 6371000     		do = 225.781688893855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82067972-0.82087147) × cos(1.38487358) × R
    0.000191750000000046 × 0.184853456362481 × 6371000     		du = 225.824237790624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38490902)-sin(1.38487358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184818627015955-0.184853456362481)×R²
    abs(0.82087147-0.82067972)×3.48293465263771e-05×R²
    0.000191750000000046×3.48293465263771e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.48293465263771e-05×40589641000000     		ar = 50983.6536846737m²