Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20662 / 4013
↖ ↑ ↗
← N 79.341317°
E 46.999512°		 ← 225.94 m → N 79.341317°
E 47.010498°		 →
↑
225.92 m
↓
↑
225.92 m
↓
N 79.339285°
E 46.999512°		 ← 225.98 m →
51 048 m²		 N 79.339285°
E 47.010498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630569458007812 y=0.122482299804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630569458007812 × 215)
    floor (0.630569458007812 × 32768)
    floor (20662.5)     		tx = 20662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122482299804688 × 215)
    floor (0.122482299804688 × 32768)
    floor (4013.5)     		ty = 4013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20662 / 4013 ti = "15/20662/4013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20662/4013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20662 ÷ 215
    20662 ÷ 32768     		x = 0.63055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4013 ÷ 215
    4013 ÷ 32768     		y = 0.122467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63055419921875 × 2 - 1) × π
    0.2611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82029623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122467041015625 × 2 - 1) × π
    0.75506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37210954079886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82029623} λ = 0.82029623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37210954079886))-π/2
    2×atan(10.7199826888885)-π/2
    2×1.47778177055633-π/2
    2.95556354111267-1.57079632675     		φ = 1.38476721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82029623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.999512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38476721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.341317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20662 KachelY 4013 0.82029623 1.38476721 46.999512 79.341317
    Oben rechts KachelX + 1 20663 KachelY 4013 0.82048797 1.38476721 47.010498 79.341317
    Unten links KachelX 20662 KachelY + 1 4014 0.82029623 1.38473175 46.999512 79.339285
    Unten rechts KachelX + 1 20663 KachelY + 1 4014 0.82048797 1.38473175 47.010498 79.339285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38476721-1.38473175) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dl = 225.915659999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38476721-1.38473175) × R
    3.54599999998761e-05 × 6371000     		dr = 225.915659999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82029623-0.82048797) × cos(1.38476721) × R
    0.000191739999999996 × 0.184957992146159 × 6371000     		do = 225.940159133255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82029623-0.82048797) × cos(1.38473175) × R
    0.000191739999999996 × 0.184992840218193 × 6371000     		du = 225.982728685668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38476721)-sin(1.38473175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184957992146159-0.184992840218193)×R²
    abs(0.82048797-0.82029623)×3.48480720343547e-05×R²
    0.000191739999999996×3.48480720343547e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.48480720343547e-05×40589641000000     		ar = 51048.2287409649m²