Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20661 / 3697
↖ ↑ ↗
← N 79.964675°
E 46.988525°		 ← 212.88 m → N 79.964675°
E 46.999512°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
N 79.962761°
E 46.988525°		 ← 212.92 m →
45 330 m²		 N 79.962761°
E 46.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630538940429688 y=0.112838745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630538940429688 × 215)
    floor (0.630538940429688 × 32768)
    floor (20661.5)     		tx = 20661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112838745117188 × 215)
    floor (0.112838745117188 × 32768)
    floor (3697.5)     		ty = 3697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20661 / 3697 ti = "15/20661/3697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20661/3697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20661 ÷ 215
    20661 ÷ 32768     		x = 0.630523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3697 ÷ 215
    3697 ÷ 32768     		y = 0.112823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630523681640625 × 2 - 1) × π
    0.26104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82010448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112823486328125 × 2 - 1) × π
    0.77435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43270178191861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82010448} λ = 0.82010448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43270178191861))-π/2
    2×atan(11.3896127973755)-π/2
    2×1.48322159836867-π/2
    2.96644319673734-1.57079632675     		φ = 1.39564687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82010448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.988525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39564687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.964675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20661 KachelY 3697 0.82010448 1.39564687 46.988525 79.964675
    Oben rechts KachelX + 1 20662 KachelY 3697 0.82029623 1.39564687 46.999512 79.964675
    Unten links KachelX 20661 KachelY + 1 3698 0.82010448 1.39561345 46.988525 79.962761
    Unten rechts KachelX + 1 20662 KachelY + 1 3698 0.82029623 1.39561345 46.999512 79.962761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39564687-1.39561345) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39564687-1.39561345) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82010448-0.82029623) × cos(1.39564687) × R
    0.000191749999999935 × 0.174255309720847 × 6371000     		do = 212.877125875821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82010448-0.82029623) × cos(1.39561345) × R
    0.000191749999999935 × 0.174288218314447 × 6371000     		du = 212.917328305426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39564687)-sin(1.39561345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174255309720847-0.174288218314447)×R²
    abs(0.82029623-0.82010448)×3.29085936006668e-05×R²
    0.000191749999999935×3.29085936006668e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.29085936006668e-05×40589641000000     		ar = 45329.8263780188m²