Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20660 / 5030
↖ ↑ ↗
← N 77.064036°
E 46.977539°		 ← 273.48 m → N 77.064036°
E 46.988525°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
N 77.061576°
E 46.977539°		 ← 273.53 m →
74 805 m²		 N 77.061576°
E 46.988525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630508422851562 y=0.153518676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630508422851562 × 215)
    floor (0.630508422851562 × 32768)
    floor (20660.5)     		tx = 20660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153518676757812 × 215)
    floor (0.153518676757812 × 32768)
    floor (5030.5)     		ty = 5030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20660 / 5030 ti = "15/20660/5030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20660/5030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20660 ÷ 215
    20660 ÷ 32768     		x = 0.6304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5030 ÷ 215
    5030 ÷ 32768     		y = 0.15350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    0.260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81991273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15350341796875 × 2 - 1) × π
    0.6929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17710223314447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81991273} λ = 0.81991273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17710223314447))-π/2
    2×atan(8.82070883125086)-π/2
    2×1.45790874181298-π/2
    2.91581748362595-1.57079632675     		φ = 1.34502116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81991273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34502116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.064036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20660 KachelY 5030 0.81991273 1.34502116 46.977539 77.064036
    Oben rechts KachelX + 1 20661 KachelY 5030 0.82010448 1.34502116 46.988525 77.064036
    Unten links KachelX 20660 KachelY + 1 5031 0.81991273 1.34497823 46.977539 77.061576
    Unten rechts KachelX + 1 20661 KachelY + 1 5031 0.82010448 1.34497823 46.988525 77.061576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34502116-1.34497823) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34502116-1.34497823) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81991273-0.82010448) × cos(1.34502116) × R
    0.000191750000000046 × 0.223861923049263 × 6371000     		do = 273.478511777525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81991273-0.82010448) × cos(1.34497823) × R
    0.000191750000000046 × 0.223903763316894 × 6371000     		du = 273.529625490693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34502116)-sin(1.34497823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223861923049263-0.223903763316894)×R²
    abs(0.82010448-0.81991273)×4.18402676308771e-05×R²
    0.000191750000000046×4.18402676308771e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.18402676308771e-05×40589641000000     		ar = 74805.2855162285m²