Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20659 / 5028
↖ ↑ ↗
← N 77.068954°
E 46.966553°		 ← 273.38 m → N 77.068954°
E 46.977539°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
N 77.066495°
E 46.966553°		 ← 273.43 m →
74 742 m²		 N 77.066495°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630477905273438 y=0.153457641601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630477905273438 × 215)
    floor (0.630477905273438 × 32768)
    floor (20659.5)     		tx = 20659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153457641601562 × 215)
    floor (0.153457641601562 × 32768)
    floor (5028.5)     		ty = 5028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20659 / 5028 ti = "15/20659/5028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20659/5028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20659 ÷ 215
    20659 ÷ 32768     		x = 0.630462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5028 ÷ 215
    5028 ÷ 32768     		y = 0.1534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630462646484375 × 2 - 1) × π
    0.26092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81972098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1534423828125 × 2 - 1) × π
    0.693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17748572834143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81972098} λ = 0.81972098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17748572834143))-π/2
    2×atan(8.82409217942885)-π/2
    2×1.45795165877878-π/2
    2.91590331755756-1.57079632675     		φ = 1.34510699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81972098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.966553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34510699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.068954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20659 KachelY 5028 0.81972098 1.34510699 46.966553 77.068954
    Oben rechts KachelX + 1 20660 KachelY 5028 0.81991273 1.34510699 46.977539 77.068954
    Unten links KachelX 20659 KachelY + 1 5029 0.81972098 1.34506408 46.966553 77.066495
    Unten rechts KachelX + 1 20660 KachelY + 1 5029 0.81991273 1.34506408 46.977539 77.066495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34510699-1.34506408) × R
    4.29099999998961e-05 × 6371000     		dl = 273.379609999338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34510699-1.34506408) × R
    4.29099999998961e-05 × 6371000     		dr = 273.379609999338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.34510699) × R
    0.000191749999999935 × 0.223778270515558 × 6371000     		do = 273.376318558831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.34506408) × R
    0.000191749999999935 × 0.223820092115363 × 6371000     		du = 273.42740946665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34510699)-sin(1.34506408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223778270515558-0.223820092115363)×R²
    abs(0.81991273-0.81972098)×4.18215998042315e-05×R²
    0.000191749999999935×4.18215998042315e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.18215998042315e-05×40589641000000     		ar = 74742.4949683135m²