Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20659 / 3702
↖ ↑ ↗
← N 79.955099°
E 46.966553°		 ← 213.08 m → N 79.955099°
E 46.977539°		 →
↑
213.11 m
↓
↑
213.11 m
↓
N 79.953182°
E 46.966553°		 ← 213.12 m →
45 413 m²		 N 79.953182°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630477905273438 y=0.112991333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630477905273438 × 215)
    floor (0.630477905273438 × 32768)
    floor (20659.5)     		tx = 20659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112991333007812 × 215)
    floor (0.112991333007812 × 32768)
    floor (3702.5)     		ty = 3702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20659 / 3702 ti = "15/20659/3702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20659/3702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20659 ÷ 215
    20659 ÷ 32768     		x = 0.630462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3702 ÷ 215
    3702 ÷ 32768     		y = 0.11297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630462646484375 × 2 - 1) × π
    0.26092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81972098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11297607421875 × 2 - 1) × π
    0.7740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43174304392621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81972098} λ = 0.81972098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43174304392621))-π/2
    2×atan(11.3786983757393)-π/2
    2×1.48313802633342-π/2
    2.96627605266684-1.57079632675     		φ = 1.39547973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81972098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.966553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39547973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.955099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20659 KachelY 3702 0.81972098 1.39547973 46.966553 79.955099
    Oben rechts KachelX + 1 20660 KachelY 3702 0.81991273 1.39547973 46.977539 79.955099
    Unten links KachelX 20659 KachelY + 1 3703 0.81972098 1.39544628 46.966553 79.953182
    Unten rechts KachelX + 1 20660 KachelY + 1 3703 0.81991273 1.39544628 46.977539 79.953182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39547973-1.39544628) × R
    3.34499999998794e-05 × 6371000     		dl = 213.109949999232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39547973-1.39544628) × R
    3.34499999998794e-05 × 6371000     		dr = 213.109949999232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.39547973) × R
    0.000191749999999935 × 0.174419890128718 × 6371000     		do = 213.078183761858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.39544628) × R
    0.000191749999999935 × 0.174452827288375 × 6371000     		du = 213.118421088877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39547973)-sin(1.39544628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174419890128718-0.174452827288375)×R²
    abs(0.81991273-0.81972098)×3.29371596564099e-05×R²
    0.000191749999999935×3.29371596564099e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.29371596564099e-05×40589641000000     		ar = 45413.3685798541m²