Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20659 / 3690
↖ ↑ ↗
← N 79.978068°
E 46.966553°		 ← 212.60 m → N 79.978068°
E 46.977539°		 →
↑
212.66 m
↓
↑
212.66 m
↓
N 79.976155°
E 46.966553°		 ← 212.64 m →
45 216 m²		 N 79.976155°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630477905273438 y=0.112625122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630477905273438 × 215)
    floor (0.630477905273438 × 32768)
    floor (20659.5)     		tx = 20659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112625122070312 × 215)
    floor (0.112625122070312 × 32768)
    floor (3690.5)     		ty = 3690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20659 / 3690 ti = "15/20659/3690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20659/3690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20659 ÷ 215
    20659 ÷ 32768     		x = 0.630462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3690 ÷ 215
    3690 ÷ 32768     		y = 0.11260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630462646484375 × 2 - 1) × π
    0.26092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81972098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11260986328125 × 2 - 1) × π
    0.7747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43404401510797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81972098} λ = 0.81972098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43404401510797))-π/2
    2×atan(11.4049105779839)-π/2
    2×1.48333846674836-π/2
    2.96667693349672-1.57079632675     		φ = 1.39588061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81972098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.966553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39588061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.978068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20659 KachelY 3690 0.81972098 1.39588061 46.966553 79.978068
    Oben rechts KachelX + 1 20660 KachelY 3690 0.81991273 1.39588061 46.977539 79.978068
    Unten links KachelX 20659 KachelY + 1 3691 0.81972098 1.39584723 46.966553 79.976155
    Unten rechts KachelX + 1 20660 KachelY + 1 3691 0.81991273 1.39584723 46.977539 79.976155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39588061-1.39584723) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dl = 212.663980000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39588061-1.39584723) × R
    3.33800000000828e-05 × 6371000     		dr = 212.663980000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.39588061) × R
    0.000191749999999935 × 0.174025141066442 × 6371000     		do = 212.595942813481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.39584723) × R
    0.000191749999999935 × 0.174058011631068 × 6371000     		du = 212.636098785397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39588061)-sin(1.39584723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174025141066442-0.174058011631068)×R²
    abs(0.81991273-0.81972098)×3.28705646255312e-05×R²
    0.000191749999999935×3.28705646255312e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.28705646255312e-05×40589641000000     		ar = 45215.7691989477m²