Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20659 / 3675
↖ ↑ ↗
← N 80.006705°
E 46.966553°		 ← 211.99 m → N 80.006705°
E 46.977539°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
N 80.004798°
E 46.966553°		 ← 212.03 m →
44 953 m²		 N 80.004798°
E 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630477905273438 y=0.112167358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630477905273438 × 215)
    floor (0.630477905273438 × 32768)
    floor (20659.5)     		tx = 20659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112167358398438 × 215)
    floor (0.112167358398438 × 32768)
    floor (3675.5)     		ty = 3675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20659 / 3675 ti = "15/20659/3675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20659/3675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20659 ÷ 215
    20659 ÷ 32768     		x = 0.630462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3675 ÷ 215
    3675 ÷ 32768     		y = 0.112152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630462646484375 × 2 - 1) × π
    0.26092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81972098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112152099609375 × 2 - 1) × π
    0.77569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43692022908517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81972098} λ = 0.81972098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43692022908517))-π/2
    2×atan(11.4377607606279)-π/2
    2×1.48358837942995-π/2
    2.9671767588599-1.57079632675     		φ = 1.39638043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81972098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.966553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39638043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.006705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20659 KachelY 3675 0.81972098 1.39638043 46.966553 80.006705
    Oben rechts KachelX + 1 20660 KachelY 3675 0.81991273 1.39638043 46.977539 80.006705
    Unten links KachelX 20659 KachelY + 1 3676 0.81972098 1.39634715 46.966553 80.004798
    Unten rechts KachelX + 1 20660 KachelY + 1 3676 0.81991273 1.39634715 46.977539 80.004798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39638043-1.39634715) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39638043-1.39634715) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.39638043) × R
    0.000191749999999935 × 0.173532925997971 × 6371000     		do = 211.994633566395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81972098-0.81991273) × cos(1.39634715) × R
    0.000191749999999935 × 0.173565700979971 × 6371000     		du = 212.034672770824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39638043)-sin(1.39634715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173532925997971-0.173565700979971)×R²
    abs(0.81991273-0.81972098)×3.27749819993284e-05×R²
    0.000191749999999935×3.27749819993284e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.27749819993284e-05×40589641000000     		ar = 44952.8054298484m²