Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20657 / 4847
↖ ↑ ↗
← N 77.506496°
E 46.944580°		 ← 264.28 m → N 77.506496°
E 46.955567°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
N 77.504119°
E 46.944580°		 ← 264.33 m →
69 863 m²		 N 77.504119°
E 46.955567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630416870117188 y=0.147933959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630416870117188 × 215)
    floor (0.630416870117188 × 32768)
    floor (20657.5)     		tx = 20657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147933959960938 × 215)
    floor (0.147933959960938 × 32768)
    floor (4847.5)     		ty = 4847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20657 / 4847 ti = "15/20657/4847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20657/4847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20657 ÷ 215
    20657 ÷ 32768     		x = 0.630401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4847 ÷ 215
    4847 ÷ 32768     		y = 0.147918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630401611328125 × 2 - 1) × π
    0.26080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81933749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147918701171875 × 2 - 1) × π
    0.70416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21219204366635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81933749} λ = 0.81933749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21219204366635))-π/2
    2×atan(9.13572035819647)-π/2
    2×1.46176993738004-π/2
    2.92353987476007-1.57079632675     		φ = 1.35274355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81933749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.944580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35274355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.506496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20657 KachelY 4847 0.81933749 1.35274355 46.944580 77.506496
    Oben rechts KachelX + 1 20658 KachelY 4847 0.81952924 1.35274355 46.955567 77.506496
    Unten links KachelX 20657 KachelY + 1 4848 0.81933749 1.35270206 46.944580 77.504119
    Unten rechts KachelX + 1 20658 KachelY + 1 4848 0.81952924 1.35270206 46.955567 77.504119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35274355-1.35270206) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35274355-1.35270206) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81933749-0.81952924) × cos(1.35274355) × R
    0.000191750000000046 × 0.21632892039449 × 6371000     		do = 264.275900064098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81933749-0.81952924) × cos(1.35270206) × R
    0.000191750000000046 × 0.216369427747516 × 6371000     		du = 264.325385436468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35274355)-sin(1.35270206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21632892039449-0.216369427747516)×R²
    abs(0.81952924-0.81933749)×4.0507353025826e-05×R²
    0.000191750000000046×4.0507353025826e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.0507353025826e-05×40589641000000     		ar = 69863.3263071405m²