Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20655 / 3695
↖ ↑ ↗
← N 79.968503°
E 46.922607°		 ← 212.80 m → N 79.968503°
E 46.933594°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
N 79.966590°
E 46.922607°		 ← 212.84 m →
45 286 m²		 N 79.966590°
E 46.933594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630355834960938 y=0.112777709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630355834960938 × 215)
    floor (0.630355834960938 × 32768)
    floor (20655.5)     		tx = 20655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112777709960938 × 215)
    floor (0.112777709960938 × 32768)
    floor (3695.5)     		ty = 3695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20655 / 3695 ti = "15/20655/3695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20655/3695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20655 ÷ 215
    20655 ÷ 32768     		x = 0.630340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3695 ÷ 215
    3695 ÷ 32768     		y = 0.112762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630340576171875 × 2 - 1) × π
    0.26068115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81895399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112762451171875 × 2 - 1) × π
    0.77447509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43308527711557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81895399} λ = 0.81895399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43308527711557))-π/2
    2×atan(11.3939814968127)-π/2
    2×1.48325500509776-π/2
    2.96651001019553-1.57079632675     		φ = 1.39571368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81895399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.922607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39571368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.968503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20655 KachelY 3695 0.81895399 1.39571368 46.922607 79.968503
    Oben rechts KachelX + 1 20656 KachelY 3695 0.81914574 1.39571368 46.933594 79.968503
    Unten links KachelX 20655 KachelY + 1 3696 0.81895399 1.39568028 46.922607 79.966590
    Unten rechts KachelX + 1 20656 KachelY + 1 3696 0.81914574 1.39568028 46.933594 79.966590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39571368-1.39568028) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39571368-1.39568028) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81895399-0.81914574) × cos(1.39571368) × R
    0.000191749999999935 × 0.174189521491171 × 6371000     		do = 212.796756392261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81895399-0.81914574) × cos(1.39568028) × R
    0.000191749999999935 × 0.174222410779684 × 6371000     		du = 212.836935238013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39571368)-sin(1.39568028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174189521491171-0.174222410779684)×R²
    abs(0.81914574-0.81895399)×3.28892885128884e-05×R²
    0.000191749999999935×3.28892885128884e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.28892885128884e-05×40589641000000     		ar = 45285.5945682408m²