Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20652 / 3652
↖ ↑ ↗
← N 80.050460°
E 46.889648°		 ← 211.08 m → N 80.050460°
E 46.900635°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
N 80.048561°
E 46.889648°		 ← 211.12 m →
44 570 m²		 N 80.048561°
E 46.900635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630264282226562 y=0.111465454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630264282226562 × 215)
    floor (0.630264282226562 × 32768)
    floor (20652.5)     		tx = 20652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111465454101562 × 215)
    floor (0.111465454101562 × 32768)
    floor (3652.5)     		ty = 3652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20652 / 3652 ti = "15/20652/3652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20652/3652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20652 ÷ 215
    20652 ÷ 32768     		x = 0.6302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3652 ÷ 215
    3652 ÷ 32768     		y = 0.1114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6302490234375 × 2 - 1) × π
    0.260498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81837875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1114501953125 × 2 - 1) × π
    0.777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44133042385022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81837875} λ = 0.81837875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44133042385022))-π/2
    2×atan(11.4883149081375)-π/2
    2×1.48397020659706-π/2
    2.96794041319412-1.57079632675     		φ = 1.39714409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81837875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.889648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39714409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.050460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20652 KachelY 3652 0.81837875 1.39714409 46.889648 80.050460
    Oben rechts KachelX + 1 20653 KachelY 3652 0.81857050 1.39714409 46.900635 80.050460
    Unten links KachelX 20652 KachelY + 1 3653 0.81837875 1.39711095 46.889648 80.048561
    Unten rechts KachelX + 1 20653 KachelY + 1 3653 0.81857050 1.39711095 46.900635 80.048561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39714409-1.39711095) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39714409-1.39711095) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81837875-0.81857050) × cos(1.39714409) × R
    0.000191749999999935 × 0.172780801668464 × 6371000     		do = 211.07580896459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81837875-0.81857050) × cos(1.39711095) × R
    0.000191749999999935 × 0.172813443157955 × 6371000     		du = 211.11568508933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39714409)-sin(1.39711095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172780801668464-0.172813443157955)×R²
    abs(0.81857050-0.81837875)×3.26414894905591e-05×R²
    0.000191749999999935×3.26414894905591e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.26414894905591e-05×40589641000000     		ar = 44569.6878870909m²