Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20649 / 3991
↖ ↑ ↗
← N 79.385928°
E 46.856690°		 ← 225.02 m → N 79.385928°
E 46.867676°		 →
↑
225.02 m
↓
↑
225.02 m
↓
N 79.383905°
E 46.856690°		 ← 225.06 m →
50 639 m²		 N 79.383905°
E 46.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630172729492188 y=0.121810913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630172729492188 × 215)
    floor (0.630172729492188 × 32768)
    floor (20649.5)     		tx = 20649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121810913085938 × 215)
    floor (0.121810913085938 × 32768)
    floor (3991.5)     		ty = 3991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20649 / 3991 ti = "15/20649/3991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20649/3991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20649 ÷ 215
    20649 ÷ 32768     		x = 0.630157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3991 ÷ 215
    3991 ÷ 32768     		y = 0.121795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630157470703125 × 2 - 1) × π
    0.26031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81780351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121795654296875 × 2 - 1) × π
    0.75640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37632798796542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81780351} λ = 0.81780351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37632798796542))-π/2
    2×atan(10.765299886387)-π/2
    2×1.47817108073473-π/2
    2.95634216146946-1.57079632675     		φ = 1.38554583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81780351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.856690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38554583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.385928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20649 KachelY 3991 0.81780351 1.38554583 46.856690 79.385928
    Oben rechts KachelX + 1 20650 KachelY 3991 0.81799526 1.38554583 46.867676 79.385928
    Unten links KachelX 20649 KachelY + 1 3992 0.81780351 1.38551051 46.856690 79.383905
    Unten rechts KachelX + 1 20650 KachelY + 1 3992 0.81799526 1.38551051 46.867676 79.383905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38554583-1.38551051) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dl = 225.023720000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38554583-1.38551051) × R
    3.53200000000609e-05 × 6371000     		dr = 225.023720000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81780351-0.81799526) × cos(1.38554583) × R
    0.000191750000000046 × 0.184192750134639 × 6371000     		do = 225.017093129972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81780351-0.81799526) × cos(1.38551051) × R
    0.000191750000000046 × 0.184227465699549 × 6371000     		du = 225.059503026652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38554583)-sin(1.38551051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184192750134639-0.184227465699549)×R²
    abs(0.81799526-0.81780351)×3.47155649098874e-05×R²
    0.000191750000000046×3.47155649098874e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.47155649098874e-05×40589641000000     		ar = 50638.9549811572m²