Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20648 / 3639
↖ ↑ ↗
← N 80.075106°
E 46.845703°		 ← 210.56 m → N 80.075106°
E 46.856690°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
N 80.073212°
E 46.845703°		 ← 210.60 m →
44 340 m²		 N 80.073212°
E 46.856690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630142211914062 y=0.111068725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630142211914062 × 215)
    floor (0.630142211914062 × 32768)
    floor (20648.5)     		tx = 20648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111068725585938 × 215)
    floor (0.111068725585938 × 32768)
    floor (3639.5)     		ty = 3639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20648 / 3639 ti = "15/20648/3639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20648/3639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20648 ÷ 215
    20648 ÷ 32768     		x = 0.630126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3639 ÷ 215
    3639 ÷ 32768     		y = 0.111053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630126953125 × 2 - 1) × π
    0.26025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81761176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111053466796875 × 2 - 1) × π
    0.77789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44382314263046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81761176} λ = 0.81761176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44382314263046))-π/2
    2×atan(11.516987768304)-π/2
    2×1.48418528942258-π/2
    2.96837057884516-1.57079632675     		φ = 1.39757425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81761176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39757425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.075106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20648 KachelY 3639 0.81761176 1.39757425 46.845703 80.075106
    Oben rechts KachelX + 1 20649 KachelY 3639 0.81780351 1.39757425 46.856690 80.075106
    Unten links KachelX 20648 KachelY + 1 3640 0.81761176 1.39754120 46.845703 80.073212
    Unten rechts KachelX + 1 20649 KachelY + 1 3640 0.81780351 1.39754120 46.856690 80.073212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39757425-1.39754120) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39757425-1.39754120) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81761176-0.81780351) × cos(1.39757425) × R
    0.000191749999999935 × 0.172357095172972 × 6371000     		do = 210.558192479217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81761176-0.81780351) × cos(1.39754120) × R
    0.000191749999999935 × 0.172389650470158 × 6371000     		du = 210.597963308054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39757425)-sin(1.39754120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172357095172972-0.172389650470158)×R²
    abs(0.81780351-0.81761176)×3.25552971856269e-05×R²
    0.000191749999999935×3.25552971856269e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.25552971856269e-05×40589641000000     		ar = 44339.6464808688m²