Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20645 / 5036
↖ ↑ ↗
← N 77.049271°
E 46.812744°		 ← 273.77 m → N 77.049271°
E 46.823730°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
N 77.046809°
E 46.812744°		 ← 273.82 m →
74 955 m²		 N 77.046809°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630050659179688 y=0.153701782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630050659179688 × 215)
    floor (0.630050659179688 × 32768)
    floor (20645.5)     		tx = 20645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153701782226562 × 215)
    floor (0.153701782226562 × 32768)
    floor (5036.5)     		ty = 5036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20645 / 5036 ti = "15/20645/5036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20645/5036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20645 ÷ 215
    20645 ÷ 32768     		x = 0.630035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5036 ÷ 215
    5036 ÷ 32768     		y = 0.1536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630035400390625 × 2 - 1) × π
    0.26007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81703652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1536865234375 × 2 - 1) × π
    0.692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17595174755359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81703652} λ = 0.81703652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17595174755359))-π/2
    2×atan(8.81056656822159)-π/2
    2×1.45777989463037-π/2
    2.91555978926073-1.57079632675     		φ = 1.34476346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81703652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34476346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.049271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20645 KachelY 5036 0.81703652 1.34476346 46.812744 77.049271
    Oben rechts KachelX + 1 20646 KachelY 5036 0.81722826 1.34476346 46.823730 77.049271
    Unten links KachelX 20645 KachelY + 1 5037 0.81703652 1.34472049 46.812744 77.046809
    Unten rechts KachelX + 1 20646 KachelY + 1 5037 0.81722826 1.34472049 46.823730 77.046809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34476346-1.34472049) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dl = 273.761869999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34476346-1.34472049) × R
    4.29699999999755e-05 × 6371000     		dr = 273.761869999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81703652-0.81722826) × cos(1.34476346) × R
    0.000191739999999996 × 0.224113075411317 × 6371000     		do = 273.771051116634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81703652-0.81722826) × cos(1.34472049) × R
    0.000191739999999996 × 0.224154952182869 × 6371000     		du = 273.822206756457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34476346)-sin(1.34472049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224113075411317-0.224154952182869)×R²
    abs(0.81722826-0.81703652)×4.18767715529011e-05×R²
    0.000191739999999996×4.18767715529011e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.18767715529011e-05×40589641000000     		ar = 74955.0771487217m²