Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20645 / 3725
↖ ↑ ↗
← N 79.910930°
E 46.812744°		 ← 213.99 m → N 79.910930°
E 46.823730°		 →
↑
214.07 m
↓
↑
214.07 m
↓
N 79.909004°
E 46.812744°		 ← 214.03 m →
45 813 m²		 N 79.909004°
E 46.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630050659179688 y=0.113693237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630050659179688 × 215)
    floor (0.630050659179688 × 32768)
    floor (20645.5)     		tx = 20645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113693237304688 × 215)
    floor (0.113693237304688 × 32768)
    floor (3725.5)     		ty = 3725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20645 / 3725 ti = "15/20645/3725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20645/3725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20645 ÷ 215
    20645 ÷ 32768     		x = 0.630035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3725 ÷ 215
    3725 ÷ 32768     		y = 0.113677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630035400390625 × 2 - 1) × π
    0.26007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81703652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113677978515625 × 2 - 1) × π
    0.77264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42733284916116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81703652} λ = 0.81703652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42733284916116))-π/2
    2×atan(11.3286265940416)-π/2
    2×1.48275257720081-π/2
    2.96550515440161-1.57079632675     		φ = 1.39470883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81703652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.812744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39470883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.910930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20645 KachelY 3725 0.81703652 1.39470883 46.812744 79.910930
    Oben rechts KachelX + 1 20646 KachelY 3725 0.81722826 1.39470883 46.823730 79.910930
    Unten links KachelX 20645 KachelY + 1 3726 0.81703652 1.39467523 46.812744 79.909004
    Unten rechts KachelX + 1 20646 KachelY + 1 3726 0.81722826 1.39467523 46.823730 79.909004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39470883-1.39467523) × R
    3.3599999999856e-05 × 6371000     		dl = 214.065599999082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39470883-1.39467523) × R
    3.3599999999856e-05 × 6371000     		dr = 214.065599999082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81703652-0.81722826) × cos(1.39470883) × R
    0.000191739999999996 × 0.175178921383003 × 6371000     		do = 213.994285485054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81703652-0.81722826) × cos(1.39467523) × R
    0.000191739999999996 × 0.175212001714362 × 6371000     		du = 214.034695608698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39470883)-sin(1.39467523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175178921383003-0.175212001714362)×R²
    abs(0.81722826-0.81703652)×3.30803313594308e-05×R²
    0.000191739999999996×3.30803313594308e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.30803313594308e-05×40589641000000     		ar = 45813.1403316189m²