Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20642 / 4969
↖ ↑ ↗
← N 77.213208°
E 46.779785°		 ← 270.38 m → N 77.213208°
E 46.790771°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 77.210777°
E 46.779785°		 ← 270.43 m →
73 113 m²		 N 77.210777°
E 46.790771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629959106445312 y=0.151657104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629959106445312 × 215)
    floor (0.629959106445312 × 32768)
    floor (20642.5)     		tx = 20642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151657104492188 × 215)
    floor (0.151657104492188 × 32768)
    floor (4969.5)     		ty = 4969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20642 / 4969 ti = "15/20642/4969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20642/4969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20642 ÷ 215
    20642 ÷ 32768     		x = 0.62994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4969 ÷ 215
    4969 ÷ 32768     		y = 0.151641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62994384765625 × 2 - 1) × π
    0.2598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81646127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151641845703125 × 2 - 1) × π
    0.69671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18879883665176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81646127} λ = 0.81646127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18879883665176))-π/2
    2×atan(8.92448690744984)-π/2
    2×1.45921051836116-π/2
    2.91842103672232-1.57079632675     		φ = 1.34762471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81646127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34762471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.213208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20642 KachelY 4969 0.81646127 1.34762471 46.779785 77.213208
    Oben rechts KachelX + 1 20643 KachelY 4969 0.81665302 1.34762471 46.790771 77.213208
    Unten links KachelX 20642 KachelY + 1 4970 0.81646127 1.34758227 46.779785 77.210777
    Unten rechts KachelX + 1 20643 KachelY + 1 4970 0.81665302 1.34758227 46.790771 77.210777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34762471-1.34758227) × R
    4.2440000000088e-05 × 6371000     		dl = 270.38524000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34762471-1.34758227) × R
    4.2440000000088e-05 × 6371000     		dr = 270.38524000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81646127-0.81665302) × cos(1.34762471) × R
    0.000191749999999935 × 0.221323693030456 × 6371000     		do = 270.377710360864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81646127-0.81665302) × cos(1.34758227) × R
    0.000191749999999935 × 0.22136508033616 × 6371000     		du = 270.428270717964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34762471)-sin(1.34758227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221323693030456-0.22136508033616)×R²
    abs(0.81665302-0.81646127)×4.13873057043823e-05×R²
    0.000191749999999935×4.13873057043823e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.13873057043823e-05×40589641000000     		ar = 73112.9775047339m²