Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20641 / 4753
↖ ↑ ↗
← N 77.727947°
E 46.768799°		 ← 259.65 m → N 77.727947°
E 46.779785°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
N 77.725612°
E 46.768799°		 ← 259.70 m →
67 433 m²		 N 77.725612°
E 46.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629928588867188 y=0.145065307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629928588867188 × 215)
    floor (0.629928588867188 × 32768)
    floor (20641.5)     		tx = 20641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145065307617188 × 215)
    floor (0.145065307617188 × 32768)
    floor (4753.5)     		ty = 4753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20641 / 4753 ti = "15/20641/4753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20641/4753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20641 ÷ 215
    20641 ÷ 32768     		x = 0.629913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4753 ÷ 215
    4753 ÷ 32768     		y = 0.145050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629913330078125 × 2 - 1) × π
    0.25982666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81626953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145050048828125 × 2 - 1) × π
    0.70989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23021631792349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81626953} λ = 0.81626953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23021631792349))-π/2
    2×atan(9.30187802480473)-π/2
    2×1.46370246475218-π/2
    2.92740492950435-1.57079632675     		φ = 1.35660860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81626953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.768799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35660860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.727947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20641 KachelY 4753 0.81626953 1.35660860 46.768799 77.727947
    Oben rechts KachelX + 1 20642 KachelY 4753 0.81646127 1.35660860 46.779785 77.727947
    Unten links KachelX 20641 KachelY + 1 4754 0.81626953 1.35656784 46.768799 77.725612
    Unten rechts KachelX + 1 20642 KachelY + 1 4754 0.81646127 1.35656784 46.779785 77.725612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35660860-1.35656784) × R
    4.0759999999862e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35660860-1.35656784) × R
    4.0759999999862e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81626953-0.81646127) × cos(1.35660860) × R
    0.000191739999999996 × 0.212553786259007 × 6371000     		do = 259.650506228386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81626953-0.81646127) × cos(1.35656784) × R
    0.000191739999999996 × 0.212593614690682 × 6371000     		du = 259.699159666316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35660860)-sin(1.35656784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212553786259007-0.212593614690682)×R²
    abs(0.81646127-0.81626953)×3.98284316742437e-05×R²
    0.000191739999999996×3.98284316742437e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.98284316742437e-05×40589641000000     		ar = 67432.8695911519m²