Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20641 / 3653
↖ ↑ ↗
← N 80.048561°
E 46.768799°		 ← 211.10 m → N 80.048561°
E 46.779785°		 →
↑
211.13 m
↓
↑
211.13 m
↓
N 80.046662°
E 46.768799°		 ← 211.14 m →
44 576 m²		 N 80.046662°
E 46.779785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629928588867188 y=0.111495971679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629928588867188 × 215)
    floor (0.629928588867188 × 32768)
    floor (20641.5)     		tx = 20641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111495971679688 × 215)
    floor (0.111495971679688 × 32768)
    floor (3653.5)     		ty = 3653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20641 / 3653 ti = "15/20641/3653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20641/3653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20641 ÷ 215
    20641 ÷ 32768     		x = 0.629913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3653 ÷ 215
    3653 ÷ 32768     		y = 0.111480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629913330078125 × 2 - 1) × π
    0.25982666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81626953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111480712890625 × 2 - 1) × π
    0.77703857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44113867625174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81626953} λ = 0.81626953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44113867625174))-π/2
    2×atan(11.4861122625261)-π/2
    2×1.48395363988045-π/2
    2.96790727976091-1.57079632675     		φ = 1.39711095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81626953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.768799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39711095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.048561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20641 KachelY 3653 0.81626953 1.39711095 46.768799 80.048561
    Oben rechts KachelX + 1 20642 KachelY 3653 0.81646127 1.39711095 46.779785 80.048561
    Unten links KachelX 20641 KachelY + 1 3654 0.81626953 1.39707781 46.768799 80.046662
    Unten rechts KachelX + 1 20642 KachelY + 1 3654 0.81646127 1.39707781 46.779785 80.046662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39711095-1.39707781) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dl = 211.134939999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39711095-1.39707781) × R
    3.31399999999871e-05 × 6371000     		dr = 211.134939999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81626953-0.81646127) × cos(1.39711095) × R
    0.000191739999999996 × 0.172813443157955 × 6371000     		do = 211.104675144933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81626953-0.81646127) × cos(1.39707781) × R
    0.000191739999999996 × 0.172846084457651 × 6371000     		du = 211.144548958236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39711095)-sin(1.39707781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172813443157955-0.172846084457651)×R²
    abs(0.81646127-0.81626953)×3.26412996965175e-05×R²
    0.000191739999999996×3.26412996965175e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.26412996965175e-05×40589641000000     		ar = 44575.7823022956m²