Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20640 / 4750
↖ ↑ ↗
← N 77.734951°
E 46.757813°		 ← 259.52 m → N 77.734951°
E 46.768799°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 77.732617°
E 46.757813°		 ← 259.57 m →
67 365 m²		 N 77.732617°
E 46.768799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629898071289062 y=0.144973754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629898071289062 × 215)
    floor (0.629898071289062 × 32768)
    floor (20640.5)     		tx = 20640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144973754882812 × 215)
    floor (0.144973754882812 × 32768)
    floor (4750.5)     		ty = 4750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20640 / 4750 ti = "15/20640/4750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20640/4750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20640 ÷ 215
    20640 ÷ 32768     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4750 ÷ 215
    4750 ÷ 32768     		y = 0.14495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14495849609375 × 2 - 1) × π
    0.7100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23079156071893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23079156071893))-π/2
    2×atan(9.30723040243331)-π/2
    2×1.46376358258964-π/2
    2.92752716517927-1.57079632675     		φ = 1.35673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.734951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20640 KachelY 4750 0.81607778 1.35673084 46.757813 77.734951
    Oben rechts KachelX + 1 20641 KachelY 4750 0.81626953 1.35673084 46.768799 77.734951
    Unten links KachelX 20640 KachelY + 1 4751 0.81607778 1.35669010 46.757813 77.732617
    Unten rechts KachelX + 1 20641 KachelY + 1 4751 0.81626953 1.35669010 46.768799 77.732617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35673084-1.35669010) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35673084-1.35669010) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81626953) × cos(1.35673084) × R
    0.000191750000000046 × 0.21243433793247 × 6371000     		do = 259.518125266132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81626953) × cos(1.35669010) × R
    0.000191750000000046 × 0.212474147879662 × 6371000     		du = 259.566758660162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35673084)-sin(1.35669010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21243433793247-0.212474147879662)×R²
    abs(0.81626953-0.81607778)×3.9809947192021e-05×R²
    0.000191750000000046×3.9809947192021e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.9809947192021e-05×40589641000000     		ar = 67365.4191432104m²