Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2064 / 1166
↖ ↑ ↗
← N 61.015725°
E  1.406250°		 ← 4 735.69 m → N 61.015725°
E  1.494140°		 →
↑
4 738.88 m
↓
↑
4 738.88 m
↓
N 60.973107°
E  1.406250°		 ← 4 742.05 m →
22 456 927 m²		 N 60.973107°
E  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5040283203125 y=0.2847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5040283203125 × 212)
    floor (0.5040283203125 × 4096)
    floor (2064.5)     		tx = 2064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2847900390625 × 212)
    floor (0.2847900390625 × 4096)
    floor (1166.5)     		ty = 1166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2064 / 1166 ti = "12/2064/1166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2064/1166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2064 ÷ 212
    2064 ÷ 4096     		x = 0.50390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1166 ÷ 212
    1166 ÷ 4096     		y = 0.28466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50390625 × 2 - 1) × π
    0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28466796875 × 2 - 1) × π
    0.4306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.35297105487646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02454369} λ = 0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35297105487646))-π/2
    2×atan(3.86890319557372)-π/2
    2×1.31786081013542-π/2
    2.63572162027085-1.57079632675     		φ = 1.06492529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06492529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.015725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2064 KachelY 1166 0.02454369 1.06492529 1.406250 61.015725
    Oben rechts KachelX + 1 2065 KachelY 1166 0.02607767 1.06492529 1.494140 61.015725
    Unten links KachelX 2064 KachelY + 1 1167 0.02454369 1.06418147 1.406250 60.973107
    Unten rechts KachelX + 1 2065 KachelY + 1 1167 0.02607767 1.06418147 1.494140 60.973107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06492529-1.06418147) × R
    0.00074381999999984 × 6371000     		dl = 4738.87721999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06492529-1.06418147) × R
    0.00074381999999984 × 6371000     		dr = 4738.87721999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02454369-0.02607767) × cos(1.06492529) × R
    0.00153398 × 0.484569565863171 × 6371000     		do = 4735.6918642572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02454369-0.02607767) × cos(1.06418147) × R
    0.00153398 × 0.485220090329152 × 6371000     		du = 4742.04943113319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06492529)-sin(1.06418147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.484569565863171-0.485220090329152)×R²
    abs(0.02607767-0.02454369)×0.000650524465980795×R²
    0.00153398×0.000650524465980795×6371000²
    0.00153398×0.000650524465980795×40589641000000     		ar = 22456927.1962749m²