Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20639 / 3959
↖ ↑ ↗
← N 79.450489°
E 46.746826°		 ← 223.66 m → N 79.450489°
E 46.757813°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
N 79.448478°
E 46.746826°		 ← 223.71 m →
50 035 m²		 N 79.448478°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629867553710938 y=0.120834350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629867553710938 × 215)
    floor (0.629867553710938 × 32768)
    floor (20639.5)     		tx = 20639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120834350585938 × 215)
    floor (0.120834350585938 × 32768)
    floor (3959.5)     		ty = 3959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20639 / 3959 ti = "15/20639/3959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20639/3959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20639 ÷ 215
    20639 ÷ 32768     		x = 0.629852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3959 ÷ 215
    3959 ÷ 32768     		y = 0.120819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    0.25970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81588603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120819091796875 × 2 - 1) × π
    0.75836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38246391111679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81588603} λ = 0.81588603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38246391111679))-π/2
    2×atan(10.8315580086823)-π/2
    2×1.47873447627126-π/2
    2.95746895254252-1.57079632675     		φ = 1.38667263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81588603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38667263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.450489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20639 KachelY 3959 0.81588603 1.38667263 46.746826 79.450489
    Oben rechts KachelX + 1 20640 KachelY 3959 0.81607778 1.38667263 46.757813 79.450489
    Unten links KachelX 20639 KachelY + 1 3960 0.81588603 1.38663752 46.746826 79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 20640 KachelY + 1 3960 0.81607778 1.38663752 46.757813 79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38667263-1.38663752) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38667263-1.38663752) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81588603-0.81607778) × cos(1.38667263) × R
    0.000191749999999935 × 0.183085112824502 × 6371000     		do = 223.663959917014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81588603-0.81607778) × cos(1.38663752) × R
    0.000191749999999935 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 223.706126536734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38667263)-sin(1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183085112824502-0.183119629249642)×R²
    abs(0.81607778-0.81588603)×3.45164251396302e-05×R²
    0.000191749999999935×3.45164251396302e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.45164251396302e-05×40589641000000     		ar = 50035.1700838246m²