Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20639 / 3637
↖ ↑ ↗
← N 80.078893°
E 46.746826°		 ← 210.48 m → N 80.078893°
E 46.757813°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
N 80.077000°
E 46.746826°		 ← 210.52 m →
44 309 m²		 N 80.077000°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629867553710938 y=0.111007690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629867553710938 × 215)
    floor (0.629867553710938 × 32768)
    floor (20639.5)     		tx = 20639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111007690429688 × 215)
    floor (0.111007690429688 × 32768)
    floor (3637.5)     		ty = 3637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20639 / 3637 ti = "15/20639/3637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20639/3637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20639 ÷ 215
    20639 ÷ 32768     		x = 0.629852294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3637 ÷ 215
    3637 ÷ 32768     		y = 0.110992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629852294921875 × 2 - 1) × π
    0.25970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81588603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110992431640625 × 2 - 1) × π
    0.77801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44420663782742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81588603} λ = 0.81588603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44420663782742))-π/2
    2×atan(11.5214053247983)-π/2
    2×1.4842183322398-π/2
    2.96843666447959-1.57079632675     		φ = 1.39764034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81588603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.746826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39764034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.078893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20639 KachelY 3637 0.81588603 1.39764034 46.746826 80.078893
    Oben rechts KachelX + 1 20640 KachelY 3637 0.81607778 1.39764034 46.757813 80.078893
    Unten links KachelX 20639 KachelY + 1 3638 0.81588603 1.39760730 46.746826 80.077000
    Unten rechts KachelX + 1 20640 KachelY + 1 3638 0.81607778 1.39760730 46.757813 80.077000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39764034-1.39760730) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39764034-1.39760730) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81588603-0.81607778) × cos(1.39764034) × R
    0.000191749999999935 × 0.172291993864297 × 6371000     		do = 210.478662165313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81588603-0.81607778) × cos(1.39760730) × R
    0.000191749999999935 × 0.17232453968752 × 6371000     		du = 210.518421420386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39764034)-sin(1.39760730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172291993864297-0.17232453968752)×R²
    abs(0.81607778-0.81588603)×3.2545823223068e-05×R²
    0.000191749999999935×3.2545823223068e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.2545823223068e-05×40589641000000     		ar = 44309.4883751736m²