Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20637 / 4969
↖ ↑ ↗
← N 77.213208°
E 46.724854°		 ← 270.36 m → N 77.213208°
E 46.735840°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 77.210777°
E 46.724854°		 ← 270.41 m →
73 109 m²		 N 77.210777°
E 46.735840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629806518554688 y=0.151657104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629806518554688 × 215)
    floor (0.629806518554688 × 32768)
    floor (20637.5)     		tx = 20637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151657104492188 × 215)
    floor (0.151657104492188 × 32768)
    floor (4969.5)     		ty = 4969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20637 / 4969 ti = "15/20637/4969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20637/4969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20637 ÷ 215
    20637 ÷ 32768     		x = 0.629791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4969 ÷ 215
    4969 ÷ 32768     		y = 0.151641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629791259765625 × 2 - 1) × π
    0.25958251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81550254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151641845703125 × 2 - 1) × π
    0.69671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18879883665176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81550254} λ = 0.81550254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18879883665176))-π/2
    2×atan(8.92448690744984)-π/2
    2×1.45921051836116-π/2
    2.91842103672232-1.57079632675     		φ = 1.34762471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81550254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.724854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34762471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.213208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20637 KachelY 4969 0.81550254 1.34762471 46.724854 77.213208
    Oben rechts KachelX + 1 20638 KachelY 4969 0.81569428 1.34762471 46.735840 77.213208
    Unten links KachelX 20637 KachelY + 1 4970 0.81550254 1.34758227 46.724854 77.210777
    Unten rechts KachelX + 1 20638 KachelY + 1 4970 0.81569428 1.34758227 46.735840 77.210777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34762471-1.34758227) × R
    4.2440000000088e-05 × 6371000     		dl = 270.38524000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34762471-1.34758227) × R
    4.2440000000088e-05 × 6371000     		dr = 270.38524000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81550254-0.81569428) × cos(1.34762471) × R
    0.000191739999999996 × 0.221323693030456 × 6371000     		do = 270.363609828467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81550254-0.81569428) × cos(1.34758227) × R
    0.000191739999999996 × 0.22136508033616 × 6371000     		du = 270.414167548782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34762471)-sin(1.34758227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221323693030456-0.22136508033616)×R²
    abs(0.81569428-0.81550254)×4.13873057043823e-05×R²
    0.000191739999999996×4.13873057043823e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.13873057043823e-05×40589641000000     		ar = 73109.1645724231m²