Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20633 / 3639
↖ ↑ ↗
← N 80.075106°
E 46.680908°		 ← 210.55 m → N 80.075106°
E 46.691894°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
N 80.073212°
E 46.680908°		 ← 210.59 m →
44 337 m²		 N 80.073212°
E 46.691894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629684448242188 y=0.111068725585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629684448242188 × 215)
    floor (0.629684448242188 × 32768)
    floor (20633.5)     		tx = 20633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111068725585938 × 215)
    floor (0.111068725585938 × 32768)
    floor (3639.5)     		ty = 3639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20633 / 3639 ti = "15/20633/3639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20633/3639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20633 ÷ 215
    20633 ÷ 32768     		x = 0.629669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3639 ÷ 215
    3639 ÷ 32768     		y = 0.111053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629669189453125 × 2 - 1) × π
    0.25933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81473555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111053466796875 × 2 - 1) × π
    0.77789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.44382314263046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81473555} λ = 0.81473555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44382314263046))-π/2
    2×atan(11.516987768304)-π/2
    2×1.48418528942258-π/2
    2.96837057884516-1.57079632675     		φ = 1.39757425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81473555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.680908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39757425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.075106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20633 KachelY 3639 0.81473555 1.39757425 46.680908 80.075106
    Oben rechts KachelX + 1 20634 KachelY 3639 0.81492729 1.39757425 46.691894 80.075106
    Unten links KachelX 20633 KachelY + 1 3640 0.81473555 1.39754120 46.680908 80.073212
    Unten rechts KachelX + 1 20634 KachelY + 1 3640 0.81492729 1.39754120 46.691894 80.073212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39757425-1.39754120) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39757425-1.39754120) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81473555-0.81492729) × cos(1.39757425) × R
    0.000191739999999996 × 0.172357095172972 × 6371000     		do = 210.54721160875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81473555-0.81492729) × cos(1.39754120) × R
    0.000191739999999996 × 0.172389650470158 × 6371000     		du = 210.586980363489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39757425)-sin(1.39754120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172357095172972-0.172389650470158)×R²
    abs(0.81492729-0.81473555)×3.25552971856269e-05×R²
    0.000191739999999996×3.25552971856269e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.25552971856269e-05×40589641000000     		ar = 44337.3341134001m²