Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20632 / 3704
↖ ↑ ↗
← N 79.951265°
E 46.669922°		 ← 213.16 m → N 79.951265°
E 46.680908°		 →
↑
213.17 m
↓
↑
213.17 m
↓
N 79.949348°
E 46.669922°		 ← 213.20 m →
45 444 m²		 N 79.949348°
E 46.680908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629653930664062 y=0.113052368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629653930664062 × 215)
    floor (0.629653930664062 × 32768)
    floor (20632.5)     		tx = 20632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113052368164062 × 215)
    floor (0.113052368164062 × 32768)
    floor (3704.5)     		ty = 3704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20632 / 3704 ti = "15/20632/3704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20632/3704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20632 ÷ 215
    20632 ÷ 32768     		x = 0.629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3704 ÷ 215
    3704 ÷ 32768     		y = 0.113037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    0.25927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81454380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113037109375 × 2 - 1) × π
    0.77392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43135954872925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81454380} λ = 0.81454380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43135954872925))-π/2
    2×atan(11.374335536182)-π/2
    2×1.48310457542219-π/2
    2.96620915084438-1.57079632675     		φ = 1.39541282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81454380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.669922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39541282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.951265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20632 KachelY 3704 0.81454380 1.39541282 46.669922 79.951265
    Oben rechts KachelX + 1 20633 KachelY 3704 0.81473555 1.39541282 46.680908 79.951265
    Unten links KachelX 20632 KachelY + 1 3705 0.81454380 1.39537936 46.669922 79.949348
    Unten rechts KachelX + 1 20633 KachelY + 1 3705 0.81473555 1.39537936 46.680908 79.949348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39541282-1.39537936) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dl = 213.173660000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39541282-1.39537936) × R
    3.34600000000407e-05 × 6371000     		dr = 213.173660000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81454380-0.81473555) × cos(1.39541282) × R
    0.000191749999999935 × 0.174485774099432 × 6371000     		do = 213.158670206428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81454380-0.81473555) × cos(1.39537936) × R
    0.000191749999999935 × 0.174518720715141 × 6371000     		du = 213.198919085332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39541282)-sin(1.39537936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174485774099432-0.174518720715141)×R²
    abs(0.81473555-0.81454380)×3.29466157084901e-05×R²
    0.000191749999999935×3.29466157084901e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.29466157084901e-05×40589641000000     		ar = 45444.1038931933m²