Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20631 / 3663
↖ ↑ ↗
← N 80.029557°
E 46.658936°		 ← 211.51 m → N 80.029557°
E 46.669922°		 →
↑
211.52 m
↓
↑
211.52 m
↓
N 80.027655°
E 46.658936°		 ← 211.55 m →
44 743 m²		 N 80.027655°
E 46.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629623413085938 y=0.111801147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629623413085938 × 215)
    floor (0.629623413085938 × 32768)
    floor (20631.5)     		tx = 20631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111801147460938 × 215)
    floor (0.111801147460938 × 32768)
    floor (3663.5)     		ty = 3663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20631 / 3663 ti = "15/20631/3663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20631/3663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20631 ÷ 215
    20631 ÷ 32768     		x = 0.629608154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3663 ÷ 215
    3663 ÷ 32768     		y = 0.111785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629608154296875 × 2 - 1) × π
    0.25921630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81435205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111785888671875 × 2 - 1) × π
    0.77642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43922120026694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81435205} λ = 0.81435205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43922120026694))-π/2
    2×atan(11.46410902019)-π/2
    2×1.48378780051771-π/2
    2.96757560103541-1.57079632675     		φ = 1.39677927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81435205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.658936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39677927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.029557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20631 KachelY 3663 0.81435205 1.39677927 46.658936 80.029557
    Oben rechts KachelX + 1 20632 KachelY 3663 0.81454380 1.39677927 46.669922 80.029557
    Unten links KachelX 20631 KachelY + 1 3664 0.81435205 1.39674607 46.658936 80.027655
    Unten rechts KachelX + 1 20632 KachelY + 1 3664 0.81454380 1.39674607 46.669922 80.027655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39677927-1.39674607) × R
    3.31999999998445e-05 × 6371000     		dl = 211.517199999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39677927-1.39674607) × R
    3.31999999998445e-05 × 6371000     		dr = 211.517199999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81435205-0.81454380) × cos(1.39677927) × R
    0.000191750000000046 × 0.173140123379498 × 6371000     		do = 211.514770470288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81435205-0.81454380) × cos(1.39674607) × R
    0.000191750000000046 × 0.173172821871163 × 6371000     		du = 211.554716231122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39677927)-sin(1.39674607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173140123379498-0.173172821871163)×R²
    abs(0.81454380-0.81435205)×3.2698491665234e-05×R²
    0.000191750000000046×3.2698491665234e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.2698491665234e-05×40589641000000     		ar = 44743.2366203003m²