Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20630 / 4758
↖ ↑ ↗
← N 77.716266°
E 46.647949°		 ← 259.91 m → N 77.716266°
E 46.658936°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
N 77.713929°
E 46.647949°		 ← 259.96 m →
67 549 m²		 N 77.713929°
E 46.658936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629592895507812 y=0.145217895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629592895507812 × 215)
    floor (0.629592895507812 × 32768)
    floor (20630.5)     		tx = 20630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145217895507812 × 215)
    floor (0.145217895507812 × 32768)
    floor (4758.5)     		ty = 4758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20630 / 4758 ti = "15/20630/4758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20630/4758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20630 ÷ 215
    20630 ÷ 32768     		x = 0.62957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4758 ÷ 215
    4758 ÷ 32768     		y = 0.14520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62957763671875 × 2 - 1) × π
    0.2591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81416030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14520263671875 × 2 - 1) × π
    0.7095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22925757993109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81416030} λ = 0.81416030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22925757993109))-π/2
    2×atan(9.2929642346191)-π/2
    2×1.46360052531648-π/2
    2.92720105063295-1.57079632675     		φ = 1.35640472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81416030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35640472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.716266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20630 KachelY 4758 0.81416030 1.35640472 46.647949 77.716266
    Oben rechts KachelX + 1 20631 KachelY 4758 0.81435205 1.35640472 46.658936 77.716266
    Unten links KachelX 20630 KachelY + 1 4759 0.81416030 1.35636393 46.647949 77.713929
    Unten rechts KachelX + 1 20631 KachelY + 1 4759 0.81435205 1.35636393 46.658936 77.713929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35640472-1.35636393) × R
    4.07899999999017e-05 × 6371000     		dl = 259.873089999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35640472-1.35636393) × R
    4.07899999999017e-05 × 6371000     		dr = 259.873089999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81416030-0.81435205) × cos(1.35640472) × R
    0.000191750000000046 × 0.212753003053216 × 6371000     		do = 259.907419085241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81416030-0.81435205) × cos(1.35636393) × R
    0.000191750000000046 × 0.212792859030464 × 6371000     		du = 259.956108711394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35640472)-sin(1.35636393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212753003053216-0.212792859030464)×R²
    abs(0.81435205-0.81416030)×3.98559772475104e-05×R²
    0.000191750000000046×3.98559772475104e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.98559772475104e-05×40589641000000     		ar = 67549.27068271m²