Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2063 / 1167
↖ ↑ ↗
← N 60.973107°
E  1.318359°		 ← 4 742.05 m → N 60.973107°
E  1.406250°		 →
↑
4 745.18 m
↓
↑
4 745.18 m
↓
N 60.930432°
E  1.318359°		 ← 4 748.41 m →
22 516 998 m²		 N 60.930432°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5037841796875 y=0.2850341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5037841796875 × 212)
    floor (0.5037841796875 × 4096)
    floor (2063.5)     		tx = 2063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2850341796875 × 212)
    floor (0.2850341796875 × 4096)
    floor (1167.5)     		ty = 1167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2063 / 1167 ti = "12/2063/1167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2063/1167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2063 ÷ 212
    2063 ÷ 4096     		x = 0.503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1167 ÷ 212
    1167 ÷ 4096     		y = 0.284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.284912109375 × 2 - 1) × π
    0.43017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.35143707408862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02300971} λ = 0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35143707408862))-π/2
    2×atan(3.8629729220274)-π/2
    2×1.31748890050142-π/2
    2.63497780100285-1.57079632675     		φ = 1.06418147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06418147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.973107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2063 KachelY 1167 0.02300971 1.06418147 1.318359 60.973107
    Oben rechts KachelX + 1 2064 KachelY 1167 0.02454369 1.06418147 1.406250 60.973107
    Unten links KachelX 2063 KachelY + 1 1168 0.02300971 1.06343666 1.318359 60.930432
    Unten rechts KachelX + 1 2064 KachelY + 1 1168 0.02454369 1.06343666 1.406250 60.930432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06418147-1.06343666) × R
    0.00074481000000004 × 6371000     		dl = 4745.18451000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06418147-1.06343666) × R
    0.00074481000000004 × 6371000     		dr = 4745.18451000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02300971-0.02454369) × cos(1.06418147) × R
    0.00153398 × 0.485220090329152 × 6371000     		do = 4742.04943113319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02300971-0.02454369) × cos(1.06343666) × R
    0.00153398 × 0.485871211628651 × 6371000     		du = 4748.41283085515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06418147)-sin(1.06343666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485220090329152-0.485871211628651)×R²
    abs(0.02454369-0.02300971)×0.000651121299499624×R²
    0.00153398×0.000651121299499624×6371000²
    0.00153398×0.000651121299499624×40589641000000     		ar = 22516998.3000933m²