Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2063 / 1117
↖ ↑ ↗
← N 63.035039°
E  1.318359°		 ← 4 431.52 m → N 63.035039°
E  1.406250°		 →
↑
4 434.53 m
↓
↑
4 434.53 m
↓
N 62.995159°
E  1.318359°		 ← 4 437.58 m →
19 665 157 m²		 N 62.995159°
E  1.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5037841796875 y=0.2728271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5037841796875 × 212)
    floor (0.5037841796875 × 4096)
    floor (2063.5)     		tx = 2063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2728271484375 × 212)
    floor (0.2728271484375 × 4096)
    floor (1117.5)     		ty = 1117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2063 / 1117 ti = "12/2063/1117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2063/1117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2063 ÷ 212
    2063 ÷ 4096     		x = 0.503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1117 ÷ 212
    1117 ÷ 4096     		y = 0.272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.503662109375 × 2 - 1) × π
    0.00732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02300971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272705078125 × 2 - 1) × π
    0.45458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42813611348071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02300971} λ = 0.02300971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42813611348071))-π/2
    2×atan(4.17091782487659)-π/2
    2×1.33548265347823-π/2
    2.67096530695645-1.57079632675     		φ = 1.10016898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02300971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.318359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10016898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.035039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2063 KachelY 1117 0.02300971 1.10016898 1.318359 63.035039
    Oben rechts KachelX + 1 2064 KachelY 1117 0.02454369 1.10016898 1.406250 63.035039
    Unten links KachelX 2063 KachelY + 1 1118 0.02300971 1.09947293 1.318359 62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 2064 KachelY + 1 1118 0.02454369 1.09947293 1.406250 62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10016898-1.09947293) × R
    0.00069605000000017 × 6371000     		dl = 4434.53455000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10016898-1.09947293) × R
    0.00069605000000017 × 6371000     		dr = 4434.53455000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02300971-0.02454369) × cos(1.10016898) × R
    0.00153398 × 0.453445518730545 × 6371000     		do = 4431.51696931475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02300971-0.02454369) × cos(1.09947293) × R
    0.00153398 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 4437.57884339372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10016898)-sin(1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453445518730545-0.454065787061965)×R²
    abs(0.02454369-0.02300971)×0.000620268331420482×R²
    0.00153398×0.000620268331420482×6371000²
    0.00153398×0.000620268331420482×40589641000000     		ar = 19665156.6983137m²