Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20629 / 13011
↖ ↑ ↗
← N 80.780438°
W123.340759°		 ← 48.93 m → N 80.780438°
W123.338012°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.779998°
W123.340759°		 ← 48.94 m →
2 394 m²		 N 80.779998°
W123.338012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157390594482422 y=0.0992698669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157390594482422 × 217)
    floor (0.157390594482422 × 131072)
    floor (20629.5)     		tx = 20629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0992698669433594 × 217)
    floor (0.0992698669433594 × 131072)
    floor (13011.5)     		ty = 13011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20629 / 13011 ti = "17/20629/13011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20629/13011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20629 ÷ 217
    20629 ÷ 131072     		x = 0.157386779785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13011 ÷ 217
    13011 ÷ 131072     		y = 0.0992660522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157386779785156 × 2 - 1) × π
    -0.685226440429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.15270235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0992660522460938 × 2 - 1) × π
    0.801467895507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.51788565254345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15270235} λ = -2.15270235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51788565254345))-π/2
    2×atan(12.4023460530686)-π/2
    2×1.49034047197911-π/2
    2.98068094395822-1.57079632675     		φ = 1.40988462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15270235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.340759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40988462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.780438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20629 KachelY 13011 -2.15270235 1.40988462 -123.340759 80.780438
    Oben rechts KachelX + 1 20630 KachelY 13011 -2.15265441 1.40988462 -123.338012 80.780438
    Unten links KachelX 20629 KachelY + 1 13012 -2.15270235 1.40987694 -123.340759 80.779998
    Unten rechts KachelX + 1 20630 KachelY + 1 13012 -2.15265441 1.40987694 -123.338012 80.779998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40988462-1.40987694) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40988462-1.40987694) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15270235--2.15265441) × cos(1.40988462) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.160218202098536 × 6371000     		do = 48.934762937836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15270235--2.15265441) × cos(1.40987694) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.160225782880664 × 6371000     		du = 48.9370783038275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40988462)-sin(1.40987694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160218202098536-0.160225782880664)×R²
    abs(-2.15265441--2.15270235)×7.58078212878543e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.58078212878543e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.58078212878543e-06×40589641000000     		ar = 2394.39936208572m²