Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 20626 / 4816
↖ ↑ ↗
← N 77.579959°
E 46.604004°		 ← 262.75 m → N 77.579959°
E 46.614990°		 →
↑
262.74 m
↓
↑
262.74 m
↓
N 77.577596°
E 46.604004°		 ← 262.80 m →
69 040 m²		 N 77.577596°
E 46.614990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629470825195312 y=0.146987915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629470825195312 × 215)
    floor (0.629470825195312 × 32768)
    floor (20626.5)     		tx = 20626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146987915039062 × 215)
    floor (0.146987915039062 × 32768)
    floor (4816.5)     		ty = 4816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20626 / 4816 ti = "15/20626/4816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20626/4816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20626 ÷ 215
    20626 ÷ 32768     		x = 0.62945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4816 ÷ 215
    4816 ÷ 32768     		y = 0.14697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81339331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    0.7060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21813621921924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81339331} λ = 0.81339331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21813621921924))-π/2
    2×atan(9.19018640129696)-π/2
    2×1.4624110237034-π/2
    2.9248220474068-1.57079632675     		φ = 1.35402572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81339331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35402572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.579959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20626 KachelY 4816 0.81339331 1.35402572 46.604004 77.579959
    Oben rechts KachelX + 1 20627 KachelY 4816 0.81358506 1.35402572 46.614990 77.579959
    Unten links KachelX 20626 KachelY + 1 4817 0.81339331 1.35398448 46.604004 77.577596
    Unten rechts KachelX + 1 20627 KachelY + 1 4817 0.81358506 1.35398448 46.614990 77.577596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35402572-1.35398448) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dl = 262.740040000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35402572-1.35398448) × R
    4.12400000000535e-05 × 6371000     		dr = 262.740040000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81339331-0.81358506) × cos(1.35402572) × R
    0.000191749999999935 × 0.215076934011791 × 6371000     		do = 262.746424358375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81339331-0.81358506) × cos(1.35398448) × R
    0.000191749999999935 × 0.215117208693642 × 6371000     		du = 262.795625490505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35402572)-sin(1.35398448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215076934011791-0.215117208693642)×R²
    abs(0.81358506-0.81339331)×4.02746818511102e-05×R²
    0.000191749999999935×4.02746818511102e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.02746818511102e-05×40589641000000     		ar = 69040.4696093564m²