Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20626 / 3667
↖ ↑ ↗
← N 80.021946°
E 46.604004°		 ← 211.67 m → N 80.021946°
E 46.614990°		 →
↑
211.71 m
↓
↑
211.71 m
↓
N 80.020042°
E 46.604004°		 ← 211.71 m →
44 818 m²		 N 80.020042°
E 46.614990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629470825195312 y=0.111923217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629470825195312 × 215)
    floor (0.629470825195312 × 32768)
    floor (20626.5)     		tx = 20626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111923217773438 × 215)
    floor (0.111923217773438 × 32768)
    floor (3667.5)     		ty = 3667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20626 / 3667 ti = "15/20626/3667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20626/3667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20626 ÷ 215
    20626 ÷ 32768     		x = 0.62945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3667 ÷ 215
    3667 ÷ 32768     		y = 0.111907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81339331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111907958984375 × 2 - 1) × π
    0.77618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.43845420987302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81339331} λ = 0.81339331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43845420987302))-π/2
    2×atan(11.4553195298548)-π/2
    2×1.48372137702857-π/2
    2.96744275405714-1.57079632675     		φ = 1.39664643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81339331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39664643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.021946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20626 KachelY 3667 0.81339331 1.39664643 46.604004 80.021946
    Oben rechts KachelX + 1 20627 KachelY 3667 0.81358506 1.39664643 46.614990 80.021946
    Unten links KachelX 20626 KachelY + 1 3668 0.81339331 1.39661320 46.604004 80.020042
    Unten rechts KachelX + 1 20627 KachelY + 1 3668 0.81358506 1.39661320 46.614990 80.020042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39664643-1.39661320) × R
    3.32300000001062e-05 × 6371000     		dl = 211.708330000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39664643-1.39661320) × R
    3.32300000001062e-05 × 6371000     		dr = 211.708330000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81339331-0.81358506) × cos(1.39664643) × R
    0.000191749999999935 × 0.173270955595715 × 6371000     		do = 211.67460024066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81339331-0.81358506) × cos(1.39661320) × R
    0.000191749999999935 × 0.173303682869475 × 6371000     		du = 211.714581162831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39664643)-sin(1.39661320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173270955595715-0.173303682869475)×R²
    abs(0.81358506-0.81339331)×3.27272737601914e-05×R²
    0.000191749999999935×3.27272737601914e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.27272737601914e-05×40589641000000     		ar = 44817.5082715705m²