Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20626 / 12726
↖ ↑ ↗
← N 80.905011°
W123.348999°		 ← 48.27 m → N 80.905011°
W123.346253°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
N 80.904577°
W123.348999°		 ← 48.27 m →
2 331 m²		 N 80.904577°
W123.346253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157367706298828 y=0.0970954895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157367706298828 × 217)
    floor (0.157367706298828 × 131072)
    floor (20626.5)     		tx = 20626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970954895019531 × 217)
    floor (0.0970954895019531 × 131072)
    floor (12726.5)     		ty = 12726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20626 / 12726 ti = "17/20626/12726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20626/12726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20626 ÷ 217
    20626 ÷ 131072     		x = 0.157363891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12726 ÷ 217
    12726 ÷ 131072     		y = 0.0970916748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157363891601562 × 2 - 1) × π
    -0.685272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15284616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0970916748046875 × 2 - 1) × π
    0.805816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53154766893517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15284616} λ = -2.15284616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53154766893517))-π/2
    2×atan(12.5729498504782)-π/2
    2×1.49142757642251-π/2
    2.98285515284502-1.57079632675     		φ = 1.41205883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15284616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.348999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41205883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.905011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20626 KachelY 12726 -2.15284616 1.41205883 -123.348999 80.905011
    Oben rechts KachelX + 1 20627 KachelY 12726 -2.15279823 1.41205883 -123.346253 80.905011
    Unten links KachelX 20626 KachelY + 1 12727 -2.15284616 1.41205125 -123.348999 80.904577
    Unten rechts KachelX + 1 20627 KachelY + 1 12727 -2.15279823 1.41205125 -123.346253 80.904577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41205883-1.41205125) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dl = 48.2921800007521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41205883-1.41205125) × R
    7.58000000011805e-06 × 6371000     		dr = 48.2921800007521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15284616--2.15279823) × cos(1.41205883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158071702366151 × 6371000     		do = 48.2690959201133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15284616--2.15279823) × cos(1.41205125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158079187063093 × 6371000     		du = 48.2713814623655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41205883)-sin(1.41205125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158071702366151-0.158079187063093)×R²
    abs(-2.15279823--2.15284616)×7.48469694200615e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.48469694200615e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.48469694200615e-06×40589641000000     		ar = 2331.07505553669m²