Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 20625 / 12497
↖ ↑ ↗
← N 81.003896°
W123.351746°		 ← 47.76 m → N 81.003896°
W123.348999°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
N 81.003467°
W123.351746°		 ← 47.76 m →
2 279 m²		 N 81.003467°
W123.348999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157360076904297 y=0.0953483581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157360076904297 × 217)
    floor (0.157360076904297 × 131072)
    floor (20625.5)     		tx = 20625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0953483581542969 × 217)
    floor (0.0953483581542969 × 131072)
    floor (12497.5)     		ty = 12497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 20625 / 12497 ti = "17/20625/12497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/20625/12497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20625 ÷ 217
    20625 ÷ 131072     		x = 0.157356262207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12497 ÷ 217
    12497 ÷ 131072     		y = 0.0953445434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157356262207031 × 2 - 1) × π
    -0.685287475585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.15289410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0953445434570312 × 2 - 1) × π
    0.809310913085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.54252521894816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15289410} λ = -2.15289410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54252521894816))-π/2
    2×atan(12.7117303777005)-π/2
    2×1.49229051066846-π/2
    2.98458102133693-1.57079632675     		φ = 1.41378469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15289410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.351746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41378469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.003896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20625 KachelY 12497 -2.15289410 1.41378469 -123.351746 81.003896
    Oben rechts KachelX + 1 20626 KachelY 12497 -2.15284616 1.41378469 -123.348999 81.003896
    Unten links KachelX 20625 KachelY + 1 12498 -2.15289410 1.41377720 -123.351746 81.003467
    Unten rechts KachelX + 1 20626 KachelY + 1 12498 -2.15284616 1.41377720 -123.348999 81.003467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41378469-1.41377720) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41378469-1.41377720) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15289410--2.15284616) × cos(1.41378469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156367305936229 × 6371000     		do = 47.7586001273478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15289410--2.15284616) × cos(1.41377720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156374703797167 × 6371000     		du = 47.7608596244993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41378469)-sin(1.41377720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156367305936229-0.156374703797167)×R²
    abs(-2.15284616--2.15289410)×7.39786093814643e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.39786093814643e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.39786093814643e-06×40589641000000     		ar = 2279.03652045924m²