Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20624 / 3949
↖ ↑ ↗
← N 79.470585°
E 46.582031°		 ← 223.24 m → N 79.470585°
E 46.593018°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
N 79.468576°
E 46.582031°		 ← 223.28 m →
49 856 m²		 N 79.468576°
E 46.593018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629409790039062 y=0.120529174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629409790039062 × 215)
    floor (0.629409790039062 × 32768)
    floor (20624.5)     		tx = 20624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120529174804688 × 215)
    floor (0.120529174804688 × 32768)
    floor (3949.5)     		ty = 3949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20624 / 3949 ti = "15/20624/3949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20624/3949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20624 ÷ 215
    20624 ÷ 32768     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3949 ÷ 215
    3949 ÷ 32768     		y = 0.120513916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120513916015625 × 2 - 1) × π
    0.75897216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38438138710159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38438138710159))-π/2
    2×atan(10.8523471860465)-π/2
    2×1.47890984158574-π/2
    2.95781968317148-1.57079632675     		φ = 1.38702336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38702336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.470585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20624 KachelY 3949 0.81300982 1.38702336 46.582031 79.470585
    Oben rechts KachelX + 1 20625 KachelY 3949 0.81320157 1.38702336 46.593018 79.470585
    Unten links KachelX 20624 KachelY + 1 3950 0.81300982 1.38698831 46.582031 79.468576
    Unten rechts KachelX + 1 20625 KachelY + 1 3950 0.81320157 1.38698831 46.593018 79.468576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38702336-1.38698831) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dl = 223.303549999525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38702336-1.38698831) × R
    3.50499999999254e-05 × 6371000     		dr = 223.303549999525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81320157) × cos(1.38702336) × R
    0.000191750000000046 × 0.182740299936772 × 6371000     		do = 223.242722959587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81320157) × cos(1.38698831) × R
    0.000191750000000046 × 0.182774759625247 × 6371000     		du = 223.28482026757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38702336)-sin(1.38698831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182740299936772-0.182774759625247)×R²
    abs(0.81320157-0.81300982)×3.44596884745141e-05×R²
    0.000191750000000046×3.44596884745141e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.44596884745141e-05×40589641000000     		ar = 49855.5927922244m²